Пространства, времена, симметрии - [48]

В Кишиневе, столице Молдавской республики, я беседовал с учеником А.Д.Александрова Александром Михайловичем Заморзаевым -Орлеанским, впоследствии создавшим большую школу кристаллографов.

Я посетил также Черновцы, осмотрел этот город, входивший до 1918 г в состав Австро-Венгрии, а в 1918 - 1940 гг. в состав Румынии. Я сделал в университете доклад о своих работах.

В 1962 г. в Киеве состоялась 1-я Всесоюзная геометрическая конференция, организованная новым заведующим кафедры геометрии университета Н.И.Кованцовым. В конференции участвовали многие студенты и аспиранты Коломенского пединстута.

Вырожденные неевклидовы геометрии

После смерти Д.И.Перепелкина я руководил его аспиранткой Ираидой Железиной. Тема ее диссертации была подсказана Перепелкину И.М.Ягломом, работавшим в Орехово-Зуевском пединституте на кафедре, которой заведовала жена Перепелкина Анастасия Николаевна и часто бывавшим в их доме.

И.М.Яглом много раз советовал мне изучать вырожденные неевклидовы геометрии. Он убедил Перепелкина в важности статьи Дункана Соммервилля "Классификация проективных метрик". Перепелкин поручил Железиной изучение геометрий, кратко описанных в статье Соммервилля, и перевел для нее эту статью на русский язык.

После смерти Перепелкина руководство диссертацией Железиной было поручено мне. Мы с Железиной ограничились рассмотрением трехмерных пространств, в которых роль абсолюта играет пара вещественных или мнимо сопряженных плоскостей и пара вещественных или мнимо сопряженных точек на линии их пересечения. В своей диссертации Железина показала, что многообразия прямых линий этих пространств допускают интерпретации в виде комплексной и двойной евклидовых плоскостей и в виде двойной псевдоевклидовой плоскости. Эти интерпретации можно получить предельными переходами из интерпретаций А. П. Котельникова.

Железина защитила диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентом в разных институтах. Она умерла в 1996 г.

На III съезде математиков СССР после моего доклада об интерпретациях геометрии Лобачевского, ко мне подошла аспирантка из Кирова Тамара Чахленкова и сказала, что тема ее диссертации - как раз интерпретации геометрии Лобачевского, и спросила мое мнение о диссертабельности этой темы. Я ответил, что написать диссертацию по этой теме совершенно невозможно. Тогда она попросила меня дать ей другую тему и быть ее руководителем. Я ответил согласием, и, вернувшись в Киров, Чахленкова провела через Ученый совет своего института решение о замене ее руководителя, и приехала ко мне в Москву. Я поручил ей изучение n- мерных вырожденных неевклидовых геометрий, частными случаями которых при n = 3 являются геометрии, изучавшиеся Железиной. Абсолюты этих геометрий состоят из вещественного или мнимого конуса второго порядка с плоской вершиной и из вещественной или мнимой квадрики в этой плоской вершине. Если плоская вершина конуса - гиперплоскость, то пространство - евклидово или псевдоевклидово вместе с его абсолютом, а если вершина конуса - точка, то пространство - коевклидово или копсевдоевклидово, т.е.соответствует евклидову или псевдоевклидову по принципу двойственности проективной геометрии.

Позже обнаружилось, что пространство, изучавшееся Железиной в случае мнимого абсолюта определил в 1911 г. Бляшке и назвал его "квазиэллиптическим". Поэтому пространства Чахленковой называются "квазиэллиптическими" и "квазипсевдоэллиптическими".

Чахленкова защитила диссертацию в МГПИ, работала доцентом сначала в Мурманском, а затем в Тамбовском пединститутах.

В Черновцах я познакомился с преподавательницей университета Евгенией Ясинской, которая попросила дать ей тему научной работы. Я предложил ей изучить геометрию самых общих просранств, определенных Соммервиллем. Ясинская защитила кандидатскую диссертацию в МГПИ и много лет работала доцентон в Черновецком университете.

Мы с И.М.Ягломом написали обзорную статью "Проективные метрики" о вырожденных неевклидовых пространствах и использовали результаты диссертации Ясинской, которую включили в число авторов статьи. Статья была напечатана в "Успехах математических наук" в 1964 г.

Пространства, абсолюты которых состоят из гиперплоскости с евклидовой геометрией, совпадают с галилеевыми пространствами, определенными А.П.Котельниковым, а пространства, получаемые из галлилеевых заменой евклидовой геометрии псевдоевклидовой, называются псевдогаллилеевыми. Если заменить в определении галлилеевых и псевдогаллилеевых пространств евклидовы и псевдоевклидовы геометрии коевклидовыми или копсевдоевклидовыми геометриями, мы получим изотропные и псевдоизотропные пространства. Галлилеева плоскость совпадает с изотропной плоскостью, абсолют этой плоскости - прямая линия с одной точкой на ней. Упоминавшиеся выше циклы изотропной плоскости являются коническими сечениями, которые касаются прямой абсолюта в его точке.

4-мерное изотропное пространство образует геометрическую интерпретацию многообразия событий (точек в определенные моменты времени) классической механики Галлилея - Ньютона., этим объясняется термин "галлилеево пространство".