Пространства, времена, симметрии - [46]

Особые группы Ли классов Е и Е

Во время работы в Коломне я продолжал размышлять о геометрических интерпретациях особых простых групп Ли. В 1956 г. Я опубликовал в "Докладах Академии наук СССР" заметку, в которой высказал предположение, что компактные особые простые гуппы Ли классо Е и Е являются группами движений эрмитовых эллиптических плоскостей над тензорными произведениями алгебр октонионов и кватернионов и двух алгебр октонионов. Это предположение, являющееся обобщением геометрической интерпретации компактной особой простой группы Ли класса Е, которую я доказал в 1954 г., было основано на установленном Э.Картаном факте, что среди симметрических пространств, группами движений которых являются компактные простые особые группы Ли классов Е и Е, имеются пространства размерности 64 и 128.

Моя заметка была представлена в Доклады Академии наук СССР". академиком И.Г.Петровским на основании положительного отзыва Е.Б.Дынкина.

Мое предположение было доказано Э.Б.Винбергом в 1964 г. в докладе "Конструкция особых простых алгебр Ли" на Семинаре по векторному и тензорному анализу при МГУ.

Более подробное изложение результатов моих заметок 1954 и 1956 гг. я опубликовал в статье "Простые группы Ли и неевклидовы геометрии" в "Ученых записках Коломенского педагогического института". Заметку в "Докладах" и статью в "Ученых записках" я послал в Утрехт Гансу Фрейденталю, которому я в 1955 г. прислал мою книгу "Неевклидовы геометрии" и с которым после этого переписывался по-русски.

В 1959 г. Фрейденталь организовал в Утрехте Международный коллоквиум "Алгебраические и топологические основания геометрии" и пригласил меня на этот коллоквиум. Приехать я не смог, и просил Фрейденталя перевести мою статью с некоторыми добавлениями на немецкий язык.

На коллоквиуме Фрейденталь выступил с докладом "О теории Розенфельдовских эллиптических плоскостей". Этот доклад и немецкий перевод моей статьи были опубликованы в 1962 г. в материалах коллоквиума.

Фрейденталь включил свой доклад о моих эллиптических плоскостях в составленный им сборник наиболее важных статей о расширении понятия пространства, озаглавленный "Теория пространства ". Сборник был опубликован в 1978 г.

Фрейденталь предложил несколько интересных геометрических интерпретаций особых простых групп Ли, некоторые из которых он объединил в "магический квадрат Фрейденталя".

Впоследствии я рассмотрел геометрические интерпретации всех некомпактных особых простых групп Ли, аналогичные моим интерпретациям компактных особых простых групп Ли.

В 50-х годах я еще не умел записывать в явном виде движения эрмитовых неевклидовых плоскостей, группы которых являются особыми простыми группами Ли, я научился делать это значительно позже.

В докладе, представленном на Утрехтский коллоквиум, я рассматривал также геометрические образы пространств с простыми фундаментальными группами и параболическими стационарными подгруппами. Эти образы играют важную роль в теории унитарных представлений некомпактных простых групп Ли и во многих других случаях. Первоначально я называл их "образами простоты и полупростоты" и в 1963 г. посвятил им статью в "Трудах семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ". В настоящее время многообразия этих образов называются "параболическими пространствами" и "флаговыми многообразиями".

Статьи и книги по истории математики

Работая в Коломне, я продолжал изучать труды математиков средневекового Востока. Я уже упоминал вышедшие в это время сборники моих переводов трактатов Хайяма и ал-Каши с их арабскими и персидскими текстами.

В нескольких выпусках ИМИ я опубликовал русские переводы доказательств V постулата Евклида в трактатах Ибн ал-Хайсама и Леви бен Гершона, Насир ад-Дина ат-Туси, ал-Абхари и Сабита ибн-Корры, а также трактата Улугбека о вычислении синуса одного градуса.

В это же время я начал перевод фундаментального труда ал-Бируни "Канон Мас'уда по астрономии и звездам" и опубликовал переводы имеющихся там звездного каталога и раздела о квадратичном интерполировании. Я опубликовал также несколько более мелких сочинений ал-Бируни. В 1959 г. я редактировал книгу Э. Кольмана "История математики в древности" и книгу А.П.Юшкевича "История математики в средние века".В том же году мы с А.П.Юшкевичем подписали с Учпедгизом договор на книгу "История математики для педагогических институтов". Мы обсудили план этой книги и я написал ее проект. Однако в это время Юшкевич был очень занят и не смог заняться этой книгой, и ее не удалось закончить. Подготовленный мной материал я впоследствии использовал в других своих публикациях.

Математические съезды

В 1956 и в 1961 гг. в Москве и Ленинграде состоялись III и IV съезды метематиков СССР. На Московском съезде я сделал доклад об истории интерпретаций пространства Лобачевского. На этом съезде я познакомился с немецким геометром Вильгельмом Бляшке (1885-1962) и итальянским геометром Бениамино Сегре (1903-1977).

После конгресса Бляшке и Сегре прислали мне свои книги и статьи.

Я познакомился также с китайским математиком Хуа Логэном (1910­1985), доклад которого в Московском Математуческом обществе я слушал в 1950 г. Теперь Хуа Логэн был директором Института математики Академии наук Китайской Народной Республики. Мы обсудили его статьи о геометрии прямоугольных матриц и договорились написать совместную статью о применении геометрии прямоугольных матриц к вещественным проективной и неевклидовой геометриям. Эта статья была написана и опубликована по-русски в Казани и в Пекине в 1957 г., и по-китайски в Пекине в 1958 г. После этих публикаций мы в течение многих лет переписывались с Хуа Логэном. Он прислал мне свою книгу "Геометрия классических групп".