Пространства, времена, симметрии - [103]
Я упоминал, что предки Аполлония были жрецами бога Аполлона, и потомками жрецов хеттского бога Апулунаша, святилище которого находилось в Перге.
С культом Аполлона связано появление конических сечений: греки считали, что Аполлон родился на острове Делас. Однажды, согласно легенде на этом острове разразилась эпидемия чумы, и его жители, обратились к жрецам бога Аполлона, считавшегосяся покровителем медицины, с просьбой помочь им. Жрецы сказали, что надо удвоить кубический алтарь в святилище Аполлона. Делийцы изготовили второй кубический алтарв и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. Тогда жрецы сказали, что удвоенный алтарь также должен иметь форму куба, т.е. ребро х нового куба должно быть связано с ребром а первоначального куба соотношением х3=2а3. Эту задачу решил в IV в. до н.э. греческий математик Менехм с помощью пересечения двух парабол y2=2аx и x2=аy, где величена х равна абсциссе точки пересечения этих парабол.Менехм определял параболу как сечение поверхности прямого кругового конуса с прямым углом при вершине плоскостью перпендикулярной одной из прямолинейных образующих конуса и называл параболу "сечением прямоугольного конуса". Менехму приписывают также открытие других конических сечений гиперболы и эллипса - "сечение тупоугольного конуса" и "сечение остроугольного конуса".
Коническим сечениям были посвящены не дошедшие до нас сочинение Аристея "О телесных геометрических местах" и "Начала конических сечений" Евклида, а таже несколько сочинений Архимеда. Архимед определил также "сфероиды" - эллипсоиды вращения, "тупоугольный коноид"- одну полость двуполостного гиперболоида вращения и "прямоугольный коноид" - параболоид вращения.
Аполлоний в "Конических сечениях", в отличие от его предшественников, рассматривал не только прямые, но и наклонные круговые конусы, и сечение этих конусов произвольными плоскостями, а также плоские сечения конических поверхностей, расположенных по обе стороны от вершины конуса. Так как при этом старые названия конических сечений теряют свой смысл, Аполлоний дал коническим сечениям новые названия "парабола", "эллипс" и "гипербола" вместо применявшихся Менехмом, Евклидом и Архимедом названий "сечение прямоугольного конуса", "сечение остроугольного конуса" и "сечение тупоугольного конуса". Аполлоний определил эти кривые как сечения поверхности одного и того же прямого или наклонного кругового конуса, расположенной по обе стороны от вершины конуса. Словом "гипербола" Аполлоний называл только одну ветвь гиперболы, а обе ветви гиперболы он называл "противоположными гиперболами".
Аполлоний нашел уравнения параболы, эллипса и гиперболы в виде y2=2px, y2=2px-(p/a)x2 и y2=2px+(p/a)x2 в системе координат, одной из осей которых является произвольный диаметр сечения, а другой - касательная к сечению в конце этого диаметра. Эта система координат в общем случае является косоугольной.
Названия Аполлония параболы, эллипса и гиперболы означают, соответственно, "приложение", "недостаток" и "избыток". Эти названия связаны с тем, что при построении точек параболы применяется приложение к отрезку 2р прямоугольника с высотой х равновеликого квадрату со стороной у, а при построении точек эллипса и гиперболы применяется "приложение с недостатком" и "приложение с избытком". Аполлоний называл отрезок 2р "прямой стороной" сечения, а отрезок 2а - "поперечной стороной" эллипса или гиперболы.
Аполлоний понимал, что аналогом эллипса является пара противоположных гипербол. Поперечная сторона эллипса или гиперболы равна отрезку оси абсцисс между ее точками пересечения с эллипсом или с двумя ветвями гиперболы. Если перенести ось ординат параллельно так, чтобы она проходила через центр эллипса или гиперболы, уравнения этих кривых примут вид x2/a2 + y2/b2 =1 и x2/a2 - y2/b2 =1, где b2 =ap.
Аполлоний рассматривал метрические свойства конических сечений - оси симметрии, фокусы и инверсии относительно окружности, эллипса, гиперболы и параболы; аффинные свойства - диаметры, центр, сопряженные диаметры, асимптоты и касательные; проективные свойства - полюсы и поляры, двойные отношения, гармонические четверки точек.
Термины "абсцисса" и "ордината" происходят от латинских переводов тех выражений, которыми Аполлоний называл эти отрезки.
Аполлоний называл осью наклонного кругового конуса прямую, соединяющую вершину А конуса с центром круга основания. Если конус пересечен плоскостью конического сечения и эта плоскость высекает из плоскости основания конуса прямую DE, Аполлоний опускал на эту прямую из центра основания перпендикуляр, пересекающий поверхность конуса в точках B и C. Треугольник ABC, проходящий через ось конуса и его вершину А, Аполлоний называл осевым треугольником. Плоскость конического сечения, высекает из поверхности конуса эллипс, параболу или две ветви гиперболы. Осью Оx служит линия пересечения секущей плоскости с плоскостью треугольника ABC, ось Oy параллельна прямой DE. В случае эллипса и гиперболы Аполлоний выражал отношение 2а/2p через углы треугольника ABC и угол между прямыми BC и Ох. В случае пораболы Аполлоний выражал отношение 2р/АО через углы треугольника ABC.
Авторы обратились к личности экс-президента Ирака Саддама Хусейна не случайно. Подобно другому видному деятелю арабского мира — египетскому президенту Гамалю Абдель Насеру, он бросил вызов Соединенным Штатам. Но если Насер — это уже история, хотя и близкая, то Хусейн — неотъемлемая фигура современной политической истории, один из стратегов XX века. Перед читателем Саддам предстанет как человек, стремящийся к власти, находящийся на вершине власти и потерявший её. Вы узнаете о неизвестных и малоизвестных моментах его биографии, о методах руководства, характере, личной жизни.
Борис Савинков — российский политический деятель, революционер, террорист, один из руководителей «Боевой организации» партии эсеров. Участник Белого движения, писатель. В результате разработанной ОГПУ уникальной операции «Синдикат-2» был завлечен на территорию СССР и арестован. Настоящее издание содержит материалы уголовного дела по обвинению Б. Савинкова в совершении целого ряда тяжких преступлений против Советской власти. На суде Б. Савинков признал свою вину и поражение в борьбе против существующего строя.
18+. В некоторых эссе цикла — есть обсценная лексика.«Когда я — Андрей Ангелов, — учился в 6 «Б» классе, то к нам в школу пришла Лошадь» (с).
У меня ведь нет иллюзий, что мои слова и мой пройденный путь вдохновят кого-то. И всё же мне хочется рассказать о том, что было… Что не сбылось, то стало самостоятельной историей, напитанной фантазиями, желаниями, ожиданиями. Иногда такие истории важнее случившегося, ведь то, что случилось, уже никогда не изменится, а несбывшееся останется навсегда живым организмом в нематериальном мире. Несбывшееся живёт и в памяти, и в мечтах, и в каких-то иных сферах, коим нет определения.
Патрис Лумумба стоял у истоков конголезской независимости. Больше того — он превратился в символ этой неподдельной и неурезанной независимости. Не будем забывать и то обстоятельство, что мир уже привык к выдающимся политикам Запада. Новая же Африка только начала выдвигать незаурядных государственных деятелей. Лумумба в отличие от многих африканских лидеров, получивших воспитание и образование в столицах колониальных держав, жил, учился и сложился как руководитель национально-освободительного движения в родном Конго, вотчине Бельгии, наиболее меркантильной из меркантильных буржуазных стран Запада.
Результаты Франко-прусской войны 1870–1871 года стали триумфальными для Германии и дипломатической победой Отто фон Бисмарка. Но как удалось ему добиться этого? Мориц Буш – автор этих дневников – безотлучно находился при Бисмарке семь месяцев войны в качестве личного секретаря и врача и ежедневно, методично, скрупулезно фиксировал на бумаге все увиденное и услышанное, подробно описывал сражения – и частные разговоры, высказывания самого Бисмарка и его коллег, друзей и врагов. В дневниках, бесценных благодаря множеству биографических подробностей и мелких политических и бытовых реалий, Бисмарк оживает перед читателем не только как государственный деятель и политик, но и как яркая, интересная личность.