Примени математику - [6]

2.3. Степени пятерки Сформулируйте и докажите признак делимости на 5^k при k = 1, 2, 3, ...

2.4. Степени двойки Сформулируйте и докажите признак делимости на 2 и вообще на 2^k при k = 1, 2, 3, ...

2.5. Упрощение для 4 Согласно общему признаку делимости на 2^k, чтобы узнать, делится ли данное число на 4, достаточно проверить, делится ли на 4 число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме двух последних.

Как можно упростить проверку делимости двузначного числа на 4?

2.6. Упрощение для 8 Согласно общему признаку делимости на 2к, чтобы узнать, делится ли данное число на 8, достаточно проверить, делится ли на 8 число, полученное из данного отбрасыванием всех его цифр, кроме трех последних.

Как можно упростить проверку делимости трехзначного числа на 8?

2.7. По сумме цифр Докажите, что любое число при делении как на 3, так и на 9 дает тот же остаток, что и сумма его цифр.

2.8. Упрощение для 3 Согласно утверждению задачи 2.7, данное число делится на 3 в том и только в том случае, если на 3 делится сумма его цифр.

Как можно упростить проверку делимости суммы цифр числа на 3, не находя самой этой суммы?

2.9. Упрощение для 9 Согласно утверждению задачи 2.7, данное число делится на 9 в том и только в том случае, если на 9 делится сумма его цифр.

Как можно упростить проверку делимости суммы цифр числа на 9, не находя самой этой суммы?

2.10. Только 3 и 9 Докажите, что если признак делимости на число m (большее 1) не зависит от порядка цифр делимого, то само число m может быть равно только 3 или 9.

2.11. Проверка сложения Вы сложили несколько чисел и хотите проверить правильность своих вычислений. Для этого можно поступить следующим образом: найти остаток от деления на 9 суммы цифр полученного ответа, затем найти остаток от деления на 9 общей суммы цифр всех слагаемых. Если указанные два остатка не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка. Дайте объяснение предложенному способу проверки сложения.

Придумайте аналогичный способ проверки вычисления алгебраической суммы, т. е. суммы нескольких целых чисел разных знаков.

2.12. Проверка умножения Вы перемножили несколько чисел и хотите проверить правильность своих вычислений. Для этого можно поступить следующим образом: найти остаток от деления на 9 суммы цифр полученного ответа, затем перемножить остатки от деления на 9 суммы цифр каждого из сомножителей и найти остаток от деления на 9 этого произведения, Если указанные два остатка не совпадут, то в вычислениях имеется ошибка.

Дайте объяснение предложенному способу проверки умножения. Придумайте аналогичный способ проверки деления (возможно, с остатком).

2.13. Надежна ли проверка? В задачах 2.11 и 2.12 приведены способы проверки вычислений, которые позволяют усомниться в правильности произведенных выкладок в случае несовпадения некоторых остатков от деления на 9.

Можно ли утверждать, что если указанные остатки совпали, то вычисления не содержат ошибок?

Можно ли это утверждать при условии, что вы ручаетесь за правильность всех цифр полученного в ответе числа, кроме, быть может, одной цифры?

2.14. В магазине Вы пришли в магазин и хотите купить 8 одинаковых авторучек, несколько карандашей по 4 копейки, линейку за 9 копеек, 2 общие тетради по 18 копеек и 12 тонких тетрадей. Продавец подсчитал общую стоимость товаров и попросил вас уплатить в кассу 5 рублей 27 копеек.

Как, по-вашему, не ошибся ли продавец?

2.15. Разложив на множители Сформулируйте признаки делимости на 6, 12, 15, 18, 24, 36, 45. Достаточно ли для проверки делимости числа на 24 установить его одновременную делимость на 4 и на 6?

2.16. Признак Паскаля Для получения признака делимости на m найдем заранее остатки m₁, m₂, m₃,... от деления на m чисел 10¹, 10², 10³,..., соответственно. Для любого числа

определим число

f_m(n)= n₀+m₁n₁+m₂n₂+. ..+m_kn_k.

Докажите, что числа n и f_m (n) дают одинаковые остатки при делении на m и могут делиться на m только одновременно. Проверьте, что нахождение остатка m_k+1 при k = 1, 2, 3,... можно осуществить проще, если заметить, что он равен остатку от деления на m числа 10m_k, (вместо числа 10^k+1).

2.17. Частные случаи Проверьте, что сформулированные выше признаки делимости на 2, 3, 5 и 9 (см. задачи 2.4, 2.8, 2.1 и 2.9) представляют собой частные случаи признака Паскаля.

2.18. Что лучше? Получите из признака Паскаля признаки делимости на 4 и на 8. Сравните их с предложенными ранее в задачах 2.5 и 2.6.

2.19. Модификация признака Паскаля Для практического применения признака делимости на m, сформулированного в задаче 2.16, бывает удобнее некоторые из остатков m₁, m₂, m₃,... от деления на m чисел 10¹, 10², 10³,..., Заменить соответствующими недостатками (особенный аффект от такой замены достигается в тех случаях когда недостатки близки к нулю).

Проверьте, что в результата указанной замены признак Паскаля сохранит силу.

2.20. Остаток от деления на 11 С помощью модификации признака Паскаля (см. задачу 2.19) придумайте способ, как найти остаток от деления данного числа на 11, не производя самого деления.

Докажите, что данное число делится на 11 в том и только в том случае, если сумма его цифр, стоящих на четных местах, совпадает с суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, или отличается от нее на число, кратное 11.