Правила счета элементов бесконечного множества - [2]
Через некоторое время посмотрим, что у нас в ящиках? Через тысячу шагов, очевидно, в первом ящике будет 1 000 чисел. Во втором и третьем – по 500, а в четвертом – только 200. Ну, или в виде соотношения 10:5:5:2.
Продолжим раскладывать числа и вновь проверим содержимое ящиков теперь уже через 10 000 шагов. И в этот раз мы обнаружим, что количества чисел в ящиках соотносятся как 10:5:5:2. Нужно ли доказывать, что и через миллион, и через миллиард, и через гугл шагов количества чисел в ящиках будут соотноситься как 10:5:5:2?
Если мы последовательно синхронно считаем количества чисел в натуральном ряду, то мы найдём истинное соотношение их количеств. Однако говорить, что бесконечное число всех натуральных чисел больше, чем число всех четных или нечетных чисел не совсем правильно. Эти числа образуют бесконечности, и следует говорить только об их мощности:
бесконечность всех натуральных чисел в два раза мощнее, чем бесконечности всех четных или нечетных чисел и в пять раз мощнее, чем бесконечность всех чисел, кратных пяти.
Утверждение, что часть может равняться целому ошибочно в самой формулировке. Мощность части бесконечности всегда меньше мощности всей бесконечности.
Рассмотрим приведённый выше пример в терминах мощностей. Примем без доказательства, что количество членов множества и его мощность – это разные, но схожие по смыслу понятия. Мы не можем сравнивать число членов множеств, по определению равных бесконечности, но мы можем сравнивать их мощности. Отношение мощностей М>1 и М>2 равномощных множеств всегда равно конечному числу:
В этом случае отношение множеств (1) для четных чисел запишется в виде:
Запишем также и отношение множеств для нечетных чисел:
Далее нам понадобится и такое тождественное отношение:
Это равенство очевидно, поскольку числитель равен знаменателю. Теперь просуммируем эти приведенные два отношения мощностей:
Очевидно, что последняя дробь содержит в числителе все целые натуральные числа:
поэтому они и равны тождественно единице.
Это определённо означает, что мощности множеств всех натуральных чисел и суммы множеств всех четных и нечетных чисел равны. Но это также означает и тождественное равенство их бесконечного количества членов. Очевидно, что множества четных и нечетных чисел равномощны, поэтому, разделив полученное равенство на c>n, получим:
Поэтому из равенства также следует, что каждая из мощностей четных и нечётных чисел в два раза «слабее» мощности всех натуральных чисел:
Отметим также без доказательств, что любые действия над каждым членом множества не изменяют мощности множества:
Из этого непосредственно следует, что решающее значение имеет способ, каким получено множество. Например, множество всех четных чисел может быть получено удалением из множества всех натуральных чисел нечётных или умножением на 2 каждого члена множества всех натуральных чисел:
Казалось бы, последнее выражение является точной копией множества всех четных чисел М(2, 4, 6, 8…). Но это ошибочно, поскольку любые действия над всеми (или отдельными) членами множества не изменяют их полного количества и, соответственно, мощности. Поэтому справедливо (знак множества M опускаем):
Хотя оба множества в числителях в обеих строках выглядят тождественно, на самом деле это разные множества, имеющие разную мощность.
Перестановки в рядах. Еще один вариант доказательства равномощности части и целого приведен в книге [2, с.282], где предлагается вести подсчет нечетных чисел, предварительно переставив их в ряду:
"В бесконечной вселенной коэффициент объема можно определить как долю, занятую областями данного типа. Но это определение приводит к неоднозначности. Чтобы проиллюстрировать природу проблемы, зададимся вопросом: какова доля нечетных чисел среди целых? Четные и нечетные числа чередуются в последовательности 1, 2, 3, 4, 5, и можно подумать, что ответом, очевидно, будет половина. Однако целые числа можно упорядочить другим способом. Например, так: 1, 2, 4, 3, 6, 8 … Эта последовательность по-прежнему включает все целые числа, но теперь за каждым нечетным числом следует два четных, и кажется, что только треть целых чисел являются нечетными"
Здесь нам отчетливо видна некорректность и противоречивость такой модификации числового ряда, которая строго последовательно и логично легко доводится до абсурда. Для этого все нечетные числа поместим в самый конец бесконечной последовательности. Теперь при поверхностном анализе последовательности мы обнаружим, что в ней нечетных чисел нет вообще. Конечно, мы догадываемся, что все они где-то дальше, но, как бы долго мы ни просматривали последовательность, мы никогда не встретим в ней ни одного нечетного числа. Однако итог явно абсурден: нечетные числа точно есть, но мы их почему-то не пересчитываем. Причина заключается просто в выборе метода подсчета: игнорирование длины ряда. Мы же сами каким-то образом перенесли нечетные числа в конец ряда? Ну, так и нумеровать тогда следует весь ряд. Это же относится и к предложенному выше методу упорядочивания. Каким-то образом эти числа перетасованы? Вплоть до последнего. Ну, так и считать следует соответственно – до последнего числа. Если же числа перетасовываются в процессе счета, тогда "временно вынутые из ряда нечетные числа" все время будут где-то скапливаться. Трудно будет не заметить это бесконечно большое хранилище нечетных чисел.
![Сверхсветовая передача сигналов](/storage/book-covers/a5/a50fca07aade98de946e111a321bea7cdee6ae99.jpg)
Рассмотрена модификация традиционной установки для телепортации квантового состояния кубита. На передающей стороне изменена на противоположную последовательность гейтов CNOT и гейта Адамара. Модифицированная установка позволяет телепортировать теперь уже не просто неизвестное состояние кубита, а состояние запутанности кубитов. На стороне передатчика установка переводит два кубита в состояние запутанности, в результате чего и на стороне приемника два кубита также оказываются в состоянии запутанности. Показана также возможность непосредственной сверхсветовой передачи классической информации с помощью гейта CNOT.
![Двигатель космолёта на эффекте гравитационного самоускорения](/storage/book-covers/e5/e57b15b6dea080a38030f24479e4fc73271cfcb2.jpg)
Считается, что для разгона космического корабля до больших, вплоть до субсветовых, скоростей необходимы значительные запасы топлива. Однако ограниченность скорости распространения гравитации приводит к возникновению релятивистского эффекта гравитационного самоускорения, когда протяженный объект увеличивает скорость своего движения без приложения к нему внешней силы, так называемое, безопорное движение. Spacecraft engine on the effect of gravitational self-acceleration It is believed that significant reserves of fuel are required to accelerate a spacecraft to high speeds, up to subluminal speeds.
![Течение неба : Христианство как опасное путешествие навсегда](/storage/book-covers/ee/ee8c1a786cf1a917aa40f8f1d1899e3c8e3c5d35.jpg)
Истинное православие весьма отличается от его расхожих версий, излагаемых в благоглупостных книжках о вере и церкви. Оно почти недоступно не только наблюдению, но даже словесному описанию. Однако не все так плохо. Нужно просто отойти чуть в сторону от тех смотровых площадок, откуда православие обычно — и безуспешно — показывают, и обратиться к историческим и современным прецедентам христианского бытия, когда оно направлено «против течения» нехристианской или псевдохристианской общественной жизни. Может ли адекватный современный человек быть православным? Кто такие истинные верующие? Каковы настоящие христианские ценности? В чем подлинный смысл церковной жизни? Эта книга раскрывает совершенно неожиданные и удивительные стороны жизни христианина.
![Держи голову выше: тактики мышления от величайших спортсменов мира](/storage/book-covers/8c/8c83125030511b675c311baeed601766db758eab.jpg)
Современный спорт – не только физическая подготовка и тактика. Величайшие атлеты мира – от Леброна Джеймса до Криштиану Роналду – тщательно следят за активностью головного мозга и управляют ею. Команды тратят миллионы долларов, чтобы их игроки были лучшими в своем деле. На что именно уходят деньги? Автор книги Брэндон Снид изучил самые современные способы улучшить производительность игроков – от специальных тренажеров до сложных программ. Он на своем опыте прошел через камеры сенсорной депривации и разрешал исследователям подключать мозг к компьютеру.
![Адекватное познание реальности, или Как заставить облей думать?](/storage/book-covers/6c/6c4013860ebd7f692d55a085267902f2337cfe56.jpg)
Вопрос мифического (мистического) в нашей жизни сейчас встаёт всё острее. Люди хотят знать объективную реальность и научиться воспринимать её адекватно. В книге внимание уделено механизмам самого мифотворчества. Изучена роль языка как описательной силы при создании картины мира. Показано, как неадекватные языковые конструкции создают и неадекватную картину реальности. С позиций психолингвистики, язык – это инструмент описания и орудие мышления, поэтому для начала нужно разобраться в самих орудиях и их силе.
![Тайны пророчеств и предсказаний](/storage/book-covers/fc/fcc40192428d50ce923b67236db654eb40e9249d.jpg)
Книга известного тележурналиста Игоря Прокопенко посвящена пророкам будущего, жившим в Средневековье и в XX веке, которые предсказали события, уже произошедшие в XXI веке. Читателю приоткроется тайна механизма пророчества, дар которого открывается далеко не всем людям и не всегда сопровождается личным счастьем и материальным благосостоянием самого предсказателя. Читатель узнает о том, что думали о будущем мира и конкретно нашей страны – России – такие великие предсказатели, как Нострадамус, Эдгар Кейси и Ванга.
![Эта идея должна умереть. Научные теории, которые блокируют прогресс](/build/oblozhka.dc6e36b8.jpg)
Небольшие эссе, из которых составлен данный сборник, написаны самыми известными учеными и мыслителями наших дней, участниками научно-просветительского проекта Edge.org. На этот раз великолепная «команда знатоков» подвергает ревизии само устройство научной деятельности. Почему некоторые устаревшие идеи и концепции по-прежнему находятся в научном обиходе?Как и можно предположить, ответы оказались весьма разнообразными и подчас неожиданными: по мнению ведущих профессионалов современной науки, немедленного пересмотра заслуживают не только многие теории, но и краеугольные принципы самого́ научного подхода…
![Чеченский капкан: между предательством и героизмом](/storage/book-covers/ca/ca5bba9e2f0905fc53ea40901bfb2f9792629498.jpg)
Игорь Прокопенко в своей книге приводит ранее неизвестные документальные факты и свидетельства участников и очевидцев Чеченской войны. Автор заставляет по-новому взглянуть на трагические события той войны. Почему с нашей страной случилась такая страшная трагедия? Почему государством было сделано столько ошибок? Почему по масштабам глупости, предательства, коррупции и цинизма эта война не имела себе равных? Главными героями в той войне, по мнению автора, стали простые солдаты и офицеры, которые брали на себя ответственность за принимаемые решения, нарушая устав, а иногда и приказы высших военных чинов.