Паскаль - [70]

Предварительные «правила игры» поддаются абстрактному комбинаторному исчислению и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.

«Трактат об арифметическом треугольнике» создан в период переписки с Ферма (издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем. Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу, верхняя строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно продолжать сколько угодно). Числа третьей строки назывались треугольными, четвертой — пирамидальными и т. д. Числаарифметического треугольника являются числами сочетаний, подсчитываемыми по формуле

В довольно похожей форме такая таблица еще раньше была известна в странах Азии. В Европе она встречается в XVI веке у немецкого математика Штифеля и у итальянского математика Тартальи (у последнего в виде четырехугольника, стороны которого образуют последовательности фигурных чисел). Но это никак не повлияло на самостоятельность Паскаля и на значительность его вклада в комбинаторику.

В своем трактате он излагает свойства и соотношения членов разностных рядов и биноминальных коэффициентов (они расположены по диагоналям таблицы), описывает двадцать основных следствий, вытекающих из непосредственного рассмотрения арифметического треугольника, а в небольших приложениях к трактату разбирает возможности использования этого треугольника для изучения числовых порядков и сочетаний, для определения раздела ставок между игроками и степеней биномов.

Антиалгебраизм Паскаля, неприязнь к отвлеченным формулам, сказавшиеся уже в его первых математических работах, обнаруживаются и в «Трактате...», где свойства чисел хотя и выводятся в общем виде, но описательно, с конкретными доказательными примерами, без алгебраических символов. Так, например, при определении коэффициентов степеней бинома Блез не искал априорных формул для их исчисления, а записывал их друг за дружкой, переходя от низших степеней к высшим, что не позволило ему, по словам одного французского исследователя научного творчества Паскаля, сделать открытие Ньютона: «Паскалю не хватило одного росчерка пера для написания формулы, дающей коэффициент n-го порядка, получаемого при возведении бинома в степень m: он не сделал его, позволив Ньютону прославить свое имя этим вычислением».

В числе приложений к «Трактату об арифметическом треугольнике» имеется небольшая работа под названием «О суммировании числовых степеней», написанная также в 1654 году и очень важная для дальнейшего течения мысли Блеза не только в математическом отношении. В ней Паскаль дает метод подсчета степеней чисел натурального ряда, а затем заключает: «Те, кто хотя бы в малой степени разбирается в учении о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из предыдущих результатов для определения криволинейных площадей. Эти результаты позволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно много других кривых.

Если мы распространим на непрерывные величины те результаты, которые найдены для чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила.

Правила, относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы

Сумма некоторого числа линий относится к квадрату наибольшей линии, как 1 к 2.

Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3.

Сумма их кубов относится к четвертой степени наибольшей, как 1 к 4.

Общее правило, относящееся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы

Сумма одинаковых степеней некоторого числа линий относится к непосредственно следующей степени наибольшей из них, как единица к показателю этой степени. Я не буду останавливаться на других случаях, так как здесь не место их изучать. Достаточно того, что мною популярна сформулированы указанные выше правила. Нетрудно найти и другие, опираясь на тот принцип, что непрерывная величина не увеличивается от прибавления к ней любого числа величин низшего порядка.

Так, точки ничего не добавляют линиям, линии — поверхностям, поверхности — телам. Или (чтобы перейти к числам, как и надлежит в арифметическом трактате) первые степени ничего не дают по сравнению с квадратами, квадраты — по сравнению с кубами и кубы — по сравнению с квадратами квадратов. Так что должно пренебрегать, как нулями, количествами низшего порядка.

Я хотел прибавить эти несколько замечаний, знакомых тем, кто пользуется неделимыми, чтобы выявить всегда вызывающую восхищение связь, которую проникнутая единством природа устанавливает между предметами, по внешности весьма далекими друг от друга. Такая связь явна в этом примере, в котором мы видим, что вычисление размеров непрерывных величин связано с суммированием степеней чисел».

Это заключение представляет собой одну из самых мастерских страниц математической литературы XVII века, по ясности и выразительности изложения его можно сравнить с физическими трактатами Паскаля. Блез практически использует слово «сумма» в том значении, в каком в современной математике употребляется понятие интеграла; кроме того, сформулированное Блезом правило об отбрасывании любого числа величин низшего порядка по сравнению с величинами более высокого порядка чрезвычайно плодотворно при анализе бесконечно малых, что позволяет считать Паскаля одним из предшественников теории пределов и анализа бесконечно малых, лежащих в основе дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, чисто математическое различение рядов непрерывных величин, будучи перенесенным в область философии, оказывается существенно важным для понимания описываемой в «Мыслях» иерархии порядков, образующих структуру бытия: порядка материи, порядка духа, порядка любви и милосердия...