Опционы. Полный курс для профессионалов - [111]

и S² × e^{2r × dT} (e^{σ² × dT} − 1) соответственно.

В рассматриваемой нами модели S(t+dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью p, равную Su, и с вероятностью 1 − p, равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu + (1 − p)Sd, а дисперсия pS²u² + [(1 − p)S²d² – S²(pu + (1 − p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих двух случайных величин – дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для u, p и d с большой степенью точности выполняются равенства

p = (e >r× dT − d) /(u – d),

u = 1 /d = e >σ × √dT .

Зная значения u и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.

В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени – S, i-й ярус дерева соответствует моменту времени i × dT и содержит i + 1 возможную цену акции в этот момент S × u^j × d^{i − j}, j = 0… Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т. е. от момента исполнения к начальному моменту времени.

В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) – K)]. Зная цену опциона на (s + 1) – м ярусе, можно найти его цену на s-м ярусе, т. е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.

Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud – X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A = max(Su − K,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью p он будет стоить X и с вероятностью (1 − p) – Y, а значит, дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть B=e^−r×dT × (p × X + (1 − p) × Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна max(A,B).

Двигаясь от яруса к ярусу по этому алгоритму, мы в конечном итоге найдем интересующую нас цену опциона в начальный момент времени.

На практике для установления точной цены достаточно 19–21 итераций (ветвей дерева). Дальнейшие итерации незначительно уточняют цену, но замедляют расчеты.

2. Опционы на валюту

В случае опционов на валюту роль непрерывно начисляемых дивидендов играет ставка доходности в валюте – rf. Формула для цены опциона на валюту получается из формулы цены опциона колл на акцию с дивидендами (см. приложение I) простой заменой q на rf.

Стоимость опциона пут на валюту равна:

P >2 = K × e >−rT × N(−d2) − S >2 × e >−rfT × N(−d1).

Здесь S₂ – текущий курс валюты, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

В теории хеджирования с использованием опционов на валюту, в дополнение к имеющимся «грекам» рассматривается производная цены опциона по ставке доходности в валюте – rf. Этот параметр называется Phi и вычисляется по следующей формуле:

Phi = −T × e >-rfT × S >2 × N(d1) – для опциона колл.

Phi = −T × e >-rfT × S >2 × N(−d1) – для опциона пут.

3. Опционы на фьючерсы

До настоящего времени мы говорили о цене опционов на спот. При оценке опциона на фьючерс используется только безрисковая ставка, которая играет роль ставки доходности. Формула для цены имеет следующий вид:

Стоимость опциона пут на фьючерс равна

P >3 = e >−rT × [K × N(−d2) − F × N(−d1)].

Здесь F – текущая цена фьючерса, а величины d1 и d2 определяются следующим образом:

4. Сравнительная таблица формул опционов на акции, облигации, драгоценные металлы, нефть, базовые металлы

В этой табл.:

K – цена исполнения опциона;

S, S₁ – цена акции;

S₂ – курс валюты;

F – цена фьючерса на акцию, облигацию, нефть, металлы;

G – цена золота;

r – безрисковая ставка доходности;

q – непрерывная ставка дивидендов;

rf – ставка доходности в валюте;

rl – lease rate (ставка за заем физического золота);

d1, d2 – рассчитываются для каждого типа опциона по соответствующим формулам.

Библиография

Black F., Scholes M., The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political economy, vol. 81, 1973.

Black F., The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, vol. 3, 1976.

Cox J., Ross S., The valuation of options for alternative stochastic processes, Journal of Financial Economics, vol. 3, 1976.

Cox J., Ross S., Rubenstein M., Option pricing: a simplified approach, Journal of Financial Economics, vol. 7, 1979.

Derman E., Kani I., Riding on a Smile, RISK, February 1994.

Garman M., Kolhagen S., Foreign currenciy option values, Journal of International Money and Finance, vol. 2, 1983.

Merton R., The theory of rational option pricing, Bell Journal, vol. 4, 1973.

Riehl H., Heffernan T., Pre-settlement сredit risk on distant-date financial contracts, Annual Raport of the Foreign Exchange Committee, 1989.

Richard M. Levich, Can currency movements be forecasted? AIMR Conference Proceedings: currency risk in investment portfolios, June 1999.

Nassim Taleb, Dynamic hedging: managing vanilla and exotic options, John Wiley & Sins, Inc., 1997.

Energy futures: trading opportunities for the 1990s, Editor John Eltting Treat,