Опционы. Полный курс для профессионалов - [108]

. Через время Т, т. е. в момент исполнения опциона, средняя ожидаемая цена акции ААА будет не e^rT (как было бы в случае отсутствия дивидендов), а e^{(r − q)T}.

Рассмотрим дополнительно акции идентичной компании ВВВ, по которым не выплачиваются дивиденды, и текущая цена которых S₁ × e^−qT. Через время T средняя ожидаемая цена акции ВВВ будет равна S₁ × e^−qT × e^rT = S₁ × e^{(r − q)T}, т. е. акции в среднем будут стоить одинаково, а поскольку компании идентичны, то отклонение цены их акций от среднего значения также будет одинаковым.

Следовательно, в момент исполнения опциона акции будут иметь одинаковую стоимость, а значит, исполнение опционов на эти акции с одинаковыми страйками должно либо принести одинаковую прибыль, либо не принести прибыли одновременно.

При условии безарбитражности рынка на текущий момент времени европейский опцион с одним и тем же страйком на обе акции стоит одинаково, и его цена может быть вычислена по формуле Блэка – Шолца для акции без дивидендов после подстановки в нее S₁ × e^−qT вместо S.

Итак, C₁ – цена опциона колл на акцию с дивидендами имеет следующий вид:

Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:

4. Цена опциона пут. Формула паритета пут/колл

Пока мы рассматривали только опцион колл. Теперь перейдем к рассмотрению опциона пут. Владелец опциона пут имеет право в определенный момент времени продать актив по заранее оговоренной цене. Как и в случае опциона колл, владелец может не исполнять опцион, если его исполнение для него невыгодно.

При расчете премии, выплачиваемой по опциону пут на акцию без дивидендов, можно использовать формулу паритета пут/Колл (put/call parity). Эта формула описывает зависимость между величинами премии по опционам пут и Колл на один и тот же базовый актив, имеющим одинаковый страйк K и время до исполнения Т.

Для вывода зависимости рассмотрим два портфеля.

Первый состоит из одного опциона колл и K × e^−rT долларов, которые мы вкладываем под процент r на время T.

Второй состоит из одного опциона пут и одной акции.

Рассмотрим стоимость портфелей в момент исполнения опционов при разных значениях цены на акцию в тот момент времени S.

Первый портфель:

S(T) > K.

В этом случае после исполнения опциона мы получим прибыль S(T) – K, а вложенные в начале периода K × e – rT долларов вырастут до K долларов. Следовательно, стоимость портфеля равна

S(T) − K + K = S(T),

S(T) < K.

В этом случае исполнение опциона невыгодно. Следовательно, стоимость портфеля равна стоимости денег, т. е. K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Второй портфель:

S(T) > K.

В этом случае продажа акции по цене K невыгодна, так как текущая цена выше. Стоимость портфеля равна стоимости одной акции, т. е. S.

S(T) < K.

В этом случае мы исполняем опцион и продаем акцию по цене K, которая выше текущего курса. Стоимость портфеля равна K.

S(T) = K.

В этом случае при исполнении и при неисполнении опциона мы получаем одинаковую сумму: S(T) = K.

Нетрудно заметить, что в момент исполнения опционов оба портфеля имеют одинаковую стоимость при любом значении цены акции. Условие безарбитражности рынка позволяет сделать вывод, что и в данный момент оба портфеля должны стоить одинаково, т. е.

C + K × e >−rT = P + S.

Здесь

S – текущая цена акции;

K – цена исполнения опционов;

C – стоимость опциона колл;

P – стоимость опциона пут.

Полученное равенство называется формулой паритета колл/пут.

Исходя из нее, получаем, что цена опциона пут на акцию без дивидендов равна:

P = K × e >−rT × N(−d2) − S × N(−d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию без дивидендов.

Если на акцию начисляются дивиденды по ставке q, то цена опциона пут равна:

P >1 = K × e >−rT × N(–d2) − S × e – q T × N(−d1),

где d1 и d2 такие же, как в формуле для цены опциона колл на акцию с непрерывно начисляемыми дивидендами.

Вопросы

1) Рассматривается акция, по которой непрерывно начисляется дивиденд по ставке q = 5 %. Текущая цена акции $50, волатильность 60 %, непрерывно начисляется безрисковая ставка 7 %. Найдите вероятность исполнения трехмесячного европейского опциона колл на эту акцию в случаях, когда цена исполнения составляет $40 и $60.

2) Инвестор приобрел 5 полугодовых европейских опционов колл на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды. Определите средние затраты инвестора по исполнению опциона колл, если известны следующие данные:

• цена акции в настоящий момент $50;

• цена исполнения опционов $60;

• волатильность акции и безрисковая ставка на следующие полгода равны 70 % и 8 % соответственно.

3) Рассмотрим трехмесячный опцион колл на акции без дивидендов. Текущая цена акции $50, цена страйк $49, безрисковая ставка – 5 %. Сколько стоит трехмесячный опцион пут на эту акцию с таким же значением страйк, если опцион колл стоит $5?

Ответы

1) Сначала рассмотрим опцион с ценой исполнения $40. Вероятность его исполнения равна N(d2).

d2 = [ln(S /K) + (r − q – σ²/2) × T] ÷ [σ × √T] =

= [ln(50 ÷ 40) + (0,07 − 0,05 − 0,36 ÷ 2) × 0,25] ÷ [0,6 × 0,5] =

= [0,223 − 0,04] ÷ [0,3] = 0,61.

N(d2) = N(0,61) = 0,7291.

Для K = $60 имеем: