Опционы. Полный курс для профессионалов - [107]
Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени составляет:
где e>−rT – дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Возможная прибыль равна внутренней стоимости, умноженной на дисконтный фактор.
Поскольку цена актива – случайная величина, то цена опциона в настоящий момент времени или текущая премия равняется математическому ожиданию возможной прибыли:
После подстановки вместо S(T) логнормальной случайной величины и проведения математических выкладок, связанных с вычислением математического ожидания, мы получаем формулу Блэка – Шолца для европейского опциона колл на акцию без начисления дивидендов:
Здесь N(x) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины; ее можно определить из таблицы стандартного нормального распределения.
Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:
N(d2) – вероятность того, что опцион будет исполнен, тогда:
K × e>−rT × N(d2) – дисконтированные средние ожидаемые затраты по исполнению опциона;
S × N(d1) – дисконтированное среднее ожидаемое значение цены акции в момент исполнения опциона.
Таким образом, первое и второе слагаемые исходят из ваших средних ожидаемых доходов и расходов при исполнении опциона.
2. Параметры цены опциона
Из формулы Блэка – Шолца вытекает, что цена опциона зависит от следующих параметров:
r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка;
T – время, оставшееся до исполнения опциона;
S – цена акции в текущий момент;
K – цена исполнения опциона;
σ – волатильность акции.
Выясним, как исходные параметры влияют на цену колл-опциона. Для этого рассмотрим изменения каждого параметра, предположив, что остальные остаются постоянными.
Зависимость цены от страйка
С уменьшением K цена возрастает, так как опцион колл с меньшей ценой исполнения предпочтителен, поскольку предоставляет возможность купить актив по более низкой цене. Опцион с меньшим значением K стоит дороже не только потому, что вероятность его исполнения больше, но и потому, что на его исполнении вы больше зарабатываете.
Зависимость цены от волатильности
Чем больше σ, тем сильнее отклоняется цена акции от некоего среднего значения. С ростом цены акции возможная прибыль по опциону неограниченно возрастает, при уменьшении же цены убытки ограничены заплаченной премией, поскольку вы не обязаны исполнять опцион в убыток себе. Отсюда следует: опцион на актив с большей волатильностью должен стоить больше опциона на актив с меньшей волатильностью.
Зависимость цены от времени, оставшегося до исполнения опциона
Время, оставшееся до исполнения опциона, влияет на цену акции похожим образом. Действительно, чем больше времени до исполнения, тем больше вероятность того, что цена поднимется, и тем больше вероятность получить большую прибыль при исполнении опциона. Учитывая, что наши убытки при падении цены на акцию ограничены, становится очевидным, что с приближением к времени исполнения цена опциона уменьшается. С уменьшением времени уменьшается также и дисконтирующий множитель, приводящий будущую прибыль к сегодняшнему значению. Это увеличивает стоимость опциона, однако в меньшей степени.
Зависимость цены от изменения цены базового актива
С увеличением цены акции увеличиваются ваши ожидания того, что в момент окончания действия опциона его исполнение принесет прибыль. Следовательно, с увеличением цены актива цена опциона колл возрастает.
Зависимость цены от безрисковой ставки
С увеличением безрисковой ставки увеличиваются ваши ожидания относительно будущей цены базового актива, следовательно, с увеличением процентной ставки цена опциона колл увеличивается.
3. Влияние на модель фактора дивидендов
Теперь перейдем к вычислению цены европейского опциона колл для акции, по которой выплачиваются дивиденды. После выплаты дивидендов цена акции уменьшается. Мы предполагаем, что она уменьшается ровно на величину выплачиваемых дивидендов. Следовательно, при оценивании опциона на эту акцию необходимо учитывать будущие уменьшения ее цены. В случае европейского опциона колл предполагается, что цена акции состоит из двух компонент – рисковой и безрисковой.
Безрисковая компонента – это дисконтированная величина всех дивидендов, которые будут выплачены по этой акции до момента исполнения опциона. Сделав предположение о будущих дивидендах и отняв их от сегодняшней цены, можно найти рисковую компоненту. Цена опциона на такую акцию вычисляется как цена опциона на рисковую компоненту. В этом случае мы подставляем в формулу Блэка – Шолца вместо S величину рисковой компоненты. Если DVD (discounted value of dividends) – дисконтированное значение всех дивидендов, выплачиваемых по акции в период действия опциона, то рисковая компонента равна S − DVD.
Если рассматривать опционы на индекс, то выплата дивидендов по акциям, входящим в этот индекс, происходит довольно часто. В этом случае с большой степенью точности можно считать, что дивиденты выплачиваются непрерывно.
Пусть нам нужно вычислить цену европейского колл-опциона на акции компании ААА, по которым непрерывно начисляются дивиденды по ставке q, и текущая цена которых S
