Невозможность второго рода. Невероятные поиски новой формы вещества - [13]
Статья, которую принес мне Дов, как раз и была колонкой Мартина Гарднера в Scientific American, посвященной замощениям Пенроуза и опубликованной в 1977 году, примерно через три года после изобретения Пенроузом этих замощений. В статье рассказывалось, как Пенроуз обнаружил изящное решение проблемы, над которой много лет бились любители развлекательной математики: можно ли найти такой набор плиток, который покрывает пол без зазоров, причем только непериодически?
Треугольниками можно покрыть пол не периодически, если, например, расположить их в форме спирали, как показано на иллюстрации внизу слева. Однако из треугольников можно также выстроить периодическое замощение, показанное внизу справа. Поэтому треугольники не являются решением поставленной задачи.
Когда-то математики считали, что невозможно найти фигуру или комбинацию фигур, которая будет удовлетворять этим требованиям. Однако в 1964 году математик Роберт Бергер сконструировал корректный пример, в котором использовалось 20426 различных форм плиток. С течением времени другим удалось найти примеры с использованием намного меньшего числа плиток различной формы.
В 1974 году Пенроуз совершил большой прорыв, когда нашел решение задачи с использованием всего двух плиток разной формы, которые он назвал “змеями” и “дротиками” (kites и darts; см. вверху). На каждой из этих плиток нарисована дуга окружности, или “лента”. Пенроуз ввел правило, согласно которому две плитки можно прикладывать друг к другу сторонами, только если ленты на обеих сторонах общего ребра состыковываются. Следование этому “правилу совмещения” не позволяет плиткам складываться в какой-либо регулярно повторяющийся рисунок. Замощение, представленное выше, демонстрирует сложный рисунок, образуемый лентой, когда много змеев и дротиков прикладываются друг к другу в соответствии с пенроузовским правилом совмещения.
В статье Гарднера описывалось множество открытых Пенроузом удивительных особенностей его оригинальных замощений, а также их дополнительные свойства, открытые позднее его другом, математиком Джоном Конвеем из Кембриджского университета.
Конвею принадлежит бессчетное множество результатов в теории чисел, теории групп, теории узлов, теории игр и других фундаментальных областях математики. Например, именно он изобрел игру “Жизнь” – знаменитую математическую модель (так называемый клеточный автомат), где реализуются некоторые аспекты самовоспроизводящихся машин и биологической эволюции.
Когда Пенроуз познакомил Конвея с новыми замощениями, тот пришел в абсолютный восторг. Он немедленно начал вырезать фигуры из бумаги и картона, складывая их и заполняя столы и все остальные поверхности своего жилища различными сочетаниями вырезанных фигур, чтобы изучить их свойства. Статья Гарднера в Scientific American включала многие из важных фактов, обнаруженных Конвеем, что помогло нам с Довом прояснить для себя некоторые на первый взгляд неочевидные свойства пенроузовских замощений.
Читая другие статьи, мы узнали, что точная форма этих плиток неважна, покуда они соединяются друг с другом способом, эквивалентным змеям и дротикам. Версия, которую нам с Довом оказалось проще анализировать, состояла из пары ромбов – широкого и узкого. Именно эти четырехугольники были использованы для создания замощения, изображенного на следующей странице.
Из одних только широких ромбов можно сложить периодический узор, равно как и из одних только узких. Также из различных комбинаций этих двух фигур можно получить другие периодические замощения.
Однако использование ромбов – это еще не все. Чтобы полностью исключить возникновение периодичности, необходимо ввести некие правила совмещения. Один из возможных подходов состоит в том, чтобы использовать ленты по аналогии с теми, что придумал Пенроуз для своих змеев и дротиков, и установить правило, гласящее, что две плитки могут соединяться, только если на ребре, по которому они граничат, состыковываются их ленты.
Другой способ воспрепятствовать появлению обычного периодического рисунка состоит в замене прямых краев плиток кривыми или имеющими специальные выступы, подобно деталям пазла, – это отлично иллюстрирует замечательный пример паркета из индивидуальных деталей, изображенный справа. В смысле взаимного расположения плиток этот деревянный паркет эквивалентен замощению из серых и белых ромбов. Единственное отличие состоит в том, что на деревянные плитки добавлены замки́. Они позволяют деталям соединяться друг с другом, как в пазле, и исключают возможность выложить ими какой-либо периодический узор.
Если вы впервые видите замощение Пенроуза, уделите немного времени его изучению и оцените свое первое впечатление. Как бы вы могли его охарактеризовать? Видите ли вы в нем упорядоченный или неупорядоченный узор? Если вам кажется, что плитки следуют друг за другом в упорядоченной последовательности, то как предсказать, какая плитка окажется следующей?
Глядя на замощение из широких серых и узких белых ромбов, мы с Довом заметили определенные часто повторяющиеся мотивы, такие как звездообразные кластеры из пяти серых плиток, окружающих центральную точку, – чего трудно было бы ожидать для случайного узора. Но мы также заметили, что эти кластеры не повторяются через равные интервалы, как должно быть в периодическом рисунке. И в то же время расстояния между этими повторениями не выглядели произвольными, что было бы ожидаемо при случайном узоре.
