Начертательная геометрия - [19]
7) линия пересечения переходит в точке Е на поверхность конуса 7, тогда наклон секущей плоскости по отношению к основанию конуса оказывается больше наклона образующей. Следовательно, мы получаем гиперболу с вершиной в точке Н, а слева от горизонтальной проекции на рисунке 110 построен натуральный вид этого сечения.
Лекция № 12. Следы прямой на поверхности геометрических тел
1. Пирамида
Чтобы найти следы прямой на поверхности некоторого геометрического тела, нужно провести через прямую вспомогательную плоскость, затем найти сечение поверхности тела этой плоскостью. Искомыми будут точки пересечения найденного сечения и данной прямой (рис. 111).
Для нахождения точек М и N, в которых прямая I встречает поверхность пирамиды, проделаем следующее.
1. Через данную прямую I нужно провести фронтальнопроектирующую плоскость Р.
2. Затем найти точки А>1, В>1 и С>1, в которых ребра пирамиды встречают плоскость Р. Вследствие этого получим треугольник сечения поверхности пирамиды плоскостью Р.
Прямая I и треугольник А>1В>1С>1 лежат в одной и той же плоскости Р, поэтому точки М и N пересечения прямой I со сторонами треугольника А>1В>1С>1 являются искомыми.
2. Конус
Пусть нужно найти точки М и N, в которых прямая I встречает поверхность конуса. Для этого рассмотрим рисунке 112, на котором показано нахождение следов прямой на поверхности конуса. Через вершину S и данную прямую I проводят плоскость Р, что показано на рисунке 112, б, причем плоскость Р будет пересекать конус по двум образующим: AS и BS. Упомянутые образующие встретят данную прямую в искомых точках М и N. Тогда найдём проекции точек пересечения (рис. 112, а):
1) плоскость Р определяется точкой S и прямой I, тогда найдем ее след Р>h. При этом одна точка следа P>h определяется следом h>1 прямой I. Вторая точка искомого следа P>h находится путем проведения в плоскости Р произвольной прямой до встречи с горизонтальной плоскостью. С этой целью соединим точку S с любой точкой С этой прямой и найдем след h>2 прямой SC. Прямая, соединяющая точки h>1 и h>2, будет представлять собой след P>h;
2) затем нужно приступать к нахождению горизонтальных проекций а и b точек пересечения А и В следа P>h с окружностью основания конуса;
3) после этого проводят горизонтальные проекции as и bs, образующих AS и BS, причем их фронтальные проекции не нужны;
4) далее отмечают точки пересечения m и n горизонтальных проекций образующих as и bs с горизонтальной проекцией данной прямой, они будут горизонтальными проекциями искомых точек М и N;
5) в заключение остается найти фронтальные проекции ḿ и ń на фронтальной проекции Í данной прямой.
Лекция № 13. Пространственные линии
1. Цилиндрическая винтовая линия
Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.
Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р, которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.
Вследствие этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривую М>1М>2М>3М>4М>5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии. Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.
Особое внимание следует уделить рассмотрению способности линии перемещаться по самой себе. Прямая линия и окружность обладают способностью перемещаться по самим себе, вследствие чего цилиндрическая винтовая линия также может перемещаться по самой себе. Например, завинчивая металлический винт в специально приготовленное для него отверстие, мы наблюдаем скольжение одной винтовой поверхности по другой.
Шаг винтовой линии. Точка, сделав полный оборот вокруг цилиндра, будет подниматься вверх или опускаться вниз на некоторое расстояние, которое будет одним и тем же для каждого полного оборота точки (рис. 114). Шагом винтовой линии называется подъем точки за один оборот. Витком называется часть винтовой линии, которая описывается точкой за один оборот.
Правая и левая винтовые линии. На рисунке 114 будем рассматривать цилиндр со стороны основания в то время, когда точка, перемещаясь по винтовой линии, будет удаляться от наблюдателя. Вероятны два случая: движение по часовой стрелке или против неё. Если движение проходит по часовой стрелке, то будет иметь место правая винтовая линия (рис. 114а), а если против часовой стрелки – левая (рис. 114б). На рисунке 114(а-б) в первом случае видимая часть линии будет подниматься слева направо, а во втором – справа налево.
Проекции винтовой линии. Одна проекция прямого кругового цилиндра, на котором расположена винтовая линия, является окружностью, а другая – прямоугольником (рис. 114). Нужно построить фронтальную проекцию правой винтовой линии.
