Начертательная геометрия - [18]
Анализируя рисунок 108, заметим, что фронтально-проецирующая плоскость может давать сечения всех рассмотренных выше видов.
3. Сечение поверхности шара
Любое сечение поверхности шара плоскостью является окружностью, которая проецируется без искажения только в том случае, если секущая плоскость параллельна плоскости проекций. В общем же случае мы будем получать эллипс. В том случае, если секущая плоскость перпендикулярна плоскости проекций, на этой плоскости проекцией окружности является отрезок прямой, который равен диаметру этой окружности.
На рисунке 109 показано пересечение поверхности шара горизонтально-проектирующей плоскостью Р. На горизонтальную плоскость сечение будет проецироваться в виде отрезка проекции р плоскости Р, который заключён между контуром шара и равен диаметру окружности сечения. На фронтальной плоскости мы получим эллипс. О>1 является центром окружности, который получен в сечении шара. Он расположен на одной высоте с центром шара О. Горизонтальная проекция о>1 центра О>1 окружности располагается посредине отрезка ab. Перпендикуляр, который опущен из точки о на прямую ab, попадает в точку о>1, являющуюся горизонтальной проекцией центра окружности сечения. Фронтальная проекция о́>1центра окружности является центром интересующего нас эллипса.
Если рассматривать эллипс как проекцию некоторой окружности, то его большая ось всегда будет проекцией того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций, а малая ось эллипса будет представлять собой проекцию диаметра, перпендикулярного ему. Вследствие этого большая ось эллипса проекции всегда равна диаметру проецируемой окружности. Здесь диаметр окружности CD перпендикулярен плоскости Н и проецируется без искажения на фронтальную плоскость. Для нахождения концов большой оси эллипса необходимо отложить вниз и вверх от центра о>1 эллипса (по перпендикуляру к прямой о́о́>1) отрезки о́>1с́ и о́>1d́, которые равны половине диаметра окружности сечения о́>1с́ = о́>1d́ = 1/2(ab). При этом диаметр АВ окружности параллелен горизонтальной плоскости, а его фронтальная проекция а́b́ представляет собой малую ось рассматриваемого эллипса.
Точки, отделяющие видимую часть эллипса от невидимой. Начнем с проведения фронтальной плоскости Q, которая делит шар пополам. Плоскость Q будет пересекать поверхность шара по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость в виде контура. Тогда часть линии сечения, расположенную на передней части шара, будет видно, если смотреть на шар спереди, а остальная её часть не будет видна. Плоскость Q пересечет плоскость Р по фронтали Ф>1. Пересекаясь с контуром, ее фронтальная проекция Ф определит точки 1, которые отделяют видимую часть кривой от невидимой. Промежуточные точки 2́ эллипса можно найти с помощью вспомогательной фронтальной плоскости R, пересекающей поверхность шара по окружности радиуса r>2, а плоскость Р – по фронтали Ф>2.
4. Косые сечения
Пусть требуется построить натуральный вид сечения фронтально-проецирующей плоскостью тела. На рисунке 110а рассматривается тело, ограниченное тремя цилиндрическими поверхностями (1, 3 и 6), поверхностью конуса (7) и сферой (5). При этом цилиндры 1 и 6 ограничены сверху плоскостью 8, а цилиндр 3 ограничен с двух сторон плоскостями 2 и 4. Следовательно, кроме кривых поверхностей, тело также ограничено тремя плоскостями (2, 4 и 8), причем плоскость 8 не затрагивается секущей плоскостью.
На рисунке 110б показана фронтальная проекция сечения, которая совпадает со следом плоскости. Построим натуральную величину сечения, ограничиваясь лишь одной его половиной.
Построение делают следующим образом:
1) цилиндр 1 пересекается секущей плоскостью по дуге эллипса, большая полуось которого имеется без искажения на главном виде áf́. Здесь центр эллипса располагается на оси симметрии главного вида (точка f́), а отрезок FG является малой полуосью эллипса, которая равна радиусу окружности рассматриваемого цилиндра 1.
Для дуги этого эллипса в сечении мы строили четыре точки: А – конец большой оси (вершина эллипса), G – конец малой оси, С – промежуточная точка и К – точка, в которой заканчивается дуга эллипса;
2) линия пересечения в точке К переходит с поверхности цилиндра 1 на верхнее основание цилиндра 3 (на плоскость 2).
Отрезок KL прямой, по которой секущая плоскость пересечет плоскость 2, изображена в натуральную величину на плане (KL = kl);
3) от точки L до точки R мы располагаем небольшой дугой эллипса, которая соответствует пересечению с боковой поверхностью цилиндра 3;
4) затем пересечение проходит по прямой RN, которая принадлежит плоскости 4 (RN = rn);
5) далее с плоскости 4 линия пересечения переходит на поверхность шара 5, центр которого находится в точке О, а центр окружности, по которой секущая плоскость пересекает поверхность шара, 1 в точке Q. При этом радиус этой окружности равен q́ṕ = QP, им нужно провести дугу из центра Q до встречи с прямой RM в точке N (MN = mn);
6) соответственно от пересечения секущей плоскости с поверхностью цилиндра 6 должна получиться дуга эллипса BE. Здесь цилиндры 1 и 6 имеют общую ось, вследствие чего у обоих эллипсов один и тот же центр находится в точке
