Монизм как принцип диалектической логики - [70]

Все это позволяет сделать вывод, что количество в математическом смысле и количество как категория предметного мира – вещи существенно различные. Количественность как определенность самого предметного мира есть свойство самого этого мира, неотделимое от него. Количественность в математическом смысле есть определенность предметного мира в ее инобытии в процессе деятельности. Понятно поэтому, что геометрия не есть пространственная типология, так как она не занимается собственно теоретическим обобщением пространственных свойств вещей, но есть абстрактная типология деятельности освоения этих пространственных свойств.

Проблема обобщения в математике выглядит несколько иначе, чем в других науках. Математическое выражение необходимо является обобщенным, так как этот образ есть так или иначе символ, снявший свою специфическую определенность в деятельности, практически выступающий в ней как предмет, собственная природа которого, а стало быть природа тел, выражаемых в нем, для существа дела безразлична. Он универсален. Но не потому, что скопирован с универсума, а потому, что лишен собственной специфичности.

Реальное пространство может быть описано различными методами, различными способами – различными геометриями. Значит ли это, что каждой геометрии свойственно «свое», особое пространство? Отнюдь нет. Пространство едино, и его строение описывается физикой. Одно пространство не содержится в другом, как одна геометрия в другой. Различным типам геометрии соответствуют не различные пространства, а различные типы деятельности, способы освоения пространства. Применимость этих способов решается физикой. Что же касается самой геометрии, то для нее достаточно показать, что сложные пространственные образы можно представить как продукт преобразования элементарной измеримой определенности. Мы и исследуем поэтому в геометрии, собственно, не Евклидово или Риманово пространство, а Евклидовы или Римановы условия освоения в деятельности и постижения в теории физического пространства, которое столь же Евклидово, сколь и Риманово.

Итак, своеобразный дедуктивный метод математики вовсе не является платой за ее особую приверженность к формальной логике. Наоборот, формальная логика есть выражение своеобразной природы содержательной деятельности, есть логика этой формализующей деятельности с содержанием, логика предметного действия измерения, состоящего в тождественном преобразовании некоторой предметно фиксированной в эталоне элементарной определенности во всякую другую, логика предметного действия освоения количественной стороны мира.

Некоторое пространственное свойство становится познанным тогда, когда оно освоено. Оно освоено тогда, когда предметно, практически воспроизведено, построено из другой вещи. Дедуктивный характер математики свидетельствует о том, что построение сложных пространственных определенностей осуществляется опосредованно, через преобразование элементарной конструкции. Иными словами, сложную конструкцию необходимо представить как тождественное преобразование элементарной, измеренной в первоначальном акте, т.е. представить как измеримую, измеренную, переведенную в план предметного инобытия.

Отсюда ясно, что проблема элементарной клетки математического познания и элементарного бытия математической реальности есть проблема элементарного акта деятельности измерения, простейшей формы пространственного инобытия. Следовательно, несколько по-иному встает вопрос о предмете математики. Предмет математики составляют не числа и фигуры, так как, взятые сами по себе, они суть символы, лишенные содержания. Предмет математики составляют количественные отношения и пространственные свойства вещей, осваиваемые в деятельности.

Если геометрическую фигуру рассматривать как предметный образ, интересный для геометрии сам по себе, то в этом случае трудно избежать платонического ее понимания, как особого индивидуального идеального объекта, отмеченного особым «совершенством». (Абсолютизация геометрических образов, рассматриваемых сами по себе, в Древней Греции приводила к их эстетической идеализации и математической индивидуализации; но ведь такая индивидуализация ликвидирует математику, делая невозможным отождествление этих индивидуальных образов при определении зависимостей и их количественного значения.)

Индивидуализированный геометрический образ, собственно, представляет собой уже не количественную определенность, которая только и интересна для математика, но качество причем особое, исключительное – воображаемое качество. Фигура (как и число) есть лишь совокупность условий выражения количественной определенности вещи в деятельности измерения. Эти условия могут быть заданы как синтетически (в созерцании), так и аналитически (в числовом выражении).

Для той задачи, которую призвана выполнять математика, способ задания этих условий совершенно безразличен, а потому и «проблема» наглядности или ненаглядности геометрии лишена принципиальной остроты. Фигура, как и число, есть не предмет математики, а лишь средство оперирования количествам, собственная природа которого совершенно безразлична для существа дела.