Монизм как принцип диалектической логики - [65]

Объем цилиндра геометр ставит в зависимость от радиуса окружности основания и высоты. Лесовод, очевидно, скажет, что объем ствола дерева зависит от его возраста, но, определяя его объем, он вынужден будет рассуждать как геометр. Подход физический и математический к одному и тому же объекту (физическому) принципиально различен. Объем можно рассматривать как физическую определенность вещи, и тогда математический способ рассуждения становится явно бессмысленным. В самом деле, если геометрически площадь круга зависит от его радиуса, то в эмпирическом смысле этот способ рассуждения вращается в явном кругу: площадь данного плоского тела, имеющего форму круга, зависит не от его радиуса, так как радиус сам составляет определенность площади, но от тех физических условий, в которых находится данное тело; сказать, что площадь тела зависит от его радиуса, – то же самое, что сказать, что радиус тела зависит от его площади, т.е. что площадь зависит от площади же.

Очевидно, под площадью в физико-эмпирическом и геометрическом смысле мы имеем в виду различные вещи. Аналогично, если под площадью мы понимаем не физическую определенность вещи, а математическое выражение этой определенности, то при установлении этого математического выражения будет бессмысленным прибегать к физическим понятиям и соображениям. Тот факт, что объем ствола дерева равняется именно одному кубическому метру, а не двум и не трем, зависит, конечно, от его возраста. Но само определение «один кубический метр» зависит от радиуса, так как мы получили его, преобразовав определенность радиуса в определенность площади круга.

Это позволяет нам теперь ближе подойти к определению своеобразия предмета и метода математики.

В задачу научно-теоретического познания входит исследование сторон, свойств, реальных объектов, определенность которых недоступна эмпирическому познанию. При эмпирическом подходе к вещам опосредованное познание имеет место лишь мимолетно, спорадически. Наука же представляет собой систематически организованное опосредованное знание, систему опосредованного познания.

Опосредованное знание имеет место там, где определенность исследуемого свойства устанавливается через его отношение к другому свойству или объекту, скажем, через отношение отождествления исследуемого свойства и эталона данного свойства. Определенность опосредованного знания, выраженного с помощью эталона, не совпадает непосредственно с определенностью исследуемого свойства, данного в созерцании. В задачу науки поэтому входит не только описание тех процессов, продуктом которых является эмпирическая определенность вещи, но и тех, продуктом которых является определенность опосредованного знания о свойствах вещи, понятийная определенность знания.

Познание посредством системы эталонов является элементарной формой опосредованного знания. Более сложной его формой является познание целостных свойств вещи на основании исследования отношения этого целостного свойства к его элементам. В процессе познания посредством эталона предполагается обращение к некоторой другой системе вещей, свойства которых для нас выступают в роли единицы исследуемого свойства. Например, определенность длины земельного участка мы выражаем путем отождествления с длиной стержня, выступающего в роли эталона длины. Когда же перед нами стоит задача выразить площадь этого участка, мы должны прибегнуть к двойному опосредованию. Если участок имеет форму квадрата, то сначала мы выражаем сторону этого квадрата в единицах измерения, т.е. с помощью того же самого стержня, затем выражаем площадь квадрата путем возведения в степень его стороны. Сторона квадрата представляет собой элемент определенности его площади. Площадь есть целостное свойство, знание о котором носит опосредованный характер. Определенность площади мы получаем путем преобразования ее элементарного выражения – стороны. Сторону квадрата и его площадь мы в этом случае рассматриваем как определенности, в известном смысле тождественные: зная сторону квадрата, мы знаем и его площадь. Правда, мы можем измерить площадь участка и иным путем, а именно с помощью эталона площади, т.е. путем отождествления определенности целостного свойства с некоторым другим целостным свойством. Скажем, путем совмещения участков поверхности.

Элемент свойства в ряде случаев легче определить, чем само это свойство. Так, например, легче измерить с помощью эталона сторону квадрата, чем непосредственно его площадь. Такой подход к задаче требует применения уже специфически логических методов познания: анализа данного целостного свойства и его одновременного синтеза, т.е. такого разложения данного свойства на элементы, при котором его определенность не утрачивается, остается тождественной себе в ее элементарном выражении. Так, например, любое выражение площади геометрической фигуры представляет собой результат разложения данной определенности на элементы: треугольника – на основание и высоту, круга – на окружность и радиус. Одновременно этот анализ оказывается также и синтезом – отождествлением количественной определенности площади с определенностью ее радиуса, взятого с известным преобразованием.