Монизм как принцип диалектической логики - [59]
Всякий геометрический объект определяется относительно некоторой однородной среды, закономерности которой, повсюду одинаковые, обусловливают свойства конкретного объекта, рассматриваемого в ней. Так, мы убеждены, что все геометрические фигуры суть некоторым образом «одно и то же», что они внутренне тождественны. Только при этом условии и возможно строго математическое познание.
Историческое развитие геометрии состояло в том, что это убеждение все более и более овладевало умами геометров.
Для геометрии древних характерно самостоятельное рассмотрение геометрических фигур сообразно особенностям их индивидуальной наглядной определенности. Так, например, круг и эллипс с точки зрения непосредственного созерцания представляются сущностями различных порядков, поэтому определение свойств каждой из них осуществлялось индивидуально. Отдельная фигура рассматривалась как самодовлеющая единица. Разумеется, между кругом и эллипсом можно подметить некоторое внешнее сходство, однако оно не касается существа.
Методы аналитической геометрии Декарта и современной дифференциальной геометрии, теории групп или проективной геометрии позволяют установить единый метод непрерывного преобразования любой самой сложной фигуры в другую. То, что в геометрии древних решается путем сложных и разрозненных операций, аналитическая геометрия разрешает более простым и единообразным способом. Так, например, теория конических сечений была построена еще Аполлонием Пергским (265-217 гг. до н.э.), но его изложение имело чрезвычайно сложную форму. То, что у Аполлония распадается на восемьдесят отдельных операций, сопровождаемых построением отдельных элементарных фигур, аналитическая геометрия решает путем немногих простых операций. Все конические сечения выражаются в декартовых координатах уравнениями 2-й степени, и построение их теории было сведено к исследованию таких уравнений[142].
Аналитическая геометрия Декарта позволяет свести сложное дискретное многообразие индивидуальных синтетических фигур, кривых и т.п. к числовому единообразию их аналитического выражения в координатной системе, к некоторому непрерывному числовому ряду с едиными, однородными закономерностями. В этой системе индивид уже не представляется самодовлеющей единицей познания. Наоборот, всякая индивидуальная определенность есть продукт известного состояния некоторой универсальной среды, между индивидами поэтому нет такого различия, которое бросается в глаза при их синтетическом исследовании, т.е. в непосредственном созерцании. Различия между отдельными геометрическими образами здесь находятся не «наряду» с определенными тождественными чертами, но вытекают из их тождественной сущности в соответствии с законами геометрии.
При дедуктивном построении геометрии мышление исходит не из отдельных геометрических объектов, но из одной и непрерывной закономерности, которая и определяет индивидуумы в их особенностях, из некоторого единого метода построения всей совокупности объектов. Изолированные пространственные формы, «образы», которые в своей индивидуальности даже боготворились греками, рассматривавшими их как некоторые индивидуальные сущности, «эйдосы» (треугольник, сфера и т.п. или тройка, семерка у пифагорейцев), были развенчаны и сведены к ряду некоторых простейших и всеобщих соотношений.
Любая геометрическая фигура рассматривается в аналитической геометрии как организованное множество точек, каждая из которых согласно координатному методу определена ее расстоянием от осей координат. Это расстояние подчиняется некоторому числовому закону. Но расстояние есть нечто такое, в чем данная фигура уже не существует в форме своей исключительной, индивидуальной определенности.
Расстояние, взятое в его числовом выражении, есть ее «плебейская», рядовая сущность. Эта ее сущность и раскрывается аналитическим методом. Особенности фигуры, синтетически представляющиеся неразложимыми, при аналитическом методе сводятся к ординарным особенностям числового ряда. Это и позволяет единообразно рассмотреть все царство индивидуальностей. Введение в геометрию дифференциальных методов еще более расширило ее возможности в этом направлении.
Первым успехом дифференциальной геометрии было создание (XVIII в.) работами Эйлера, Лагранжа и Монжа теории кривых линий и основы теорий поверхностей. В этих работах дифференциальная геометрия еще не рассматривалась, однако как самостоятельная дисциплина она представляла собой приложение анализа к геометрии. Выход в свет в 1827 г. сочинения К.Ф. Гаусса «Рассуждение о кривых поверхностях» положил начало существованию дифференциальной геометрии как самостоятельной дисциплины.
То же следует сказать и о геометрии синтетической, проективной, аффинной, конформной и т.п.
В проективной геометрии, например, рассматриваются не отдельные фигуры, но их закономерная и непрерывная связь, позволяющая рассматривать свойства одной фигуры как проективное преобразование другой, т.е. логическую зависимость определения одной фигуры через тождественное преобразование определенности другой. (Условия этого тождественного преобразования формулируются в аксиоматике: при проективных преобразованиях остаются тождественными отношения инцидентности точки и прямой, касания прямой и какой-либо линии, ангармоническое отношение четырех точек или четырех прямых и т.п., но существенно искажаются соотношения метрические; при конформных преобразованиях остаются инвариантными углы между любыми линиями; в топологии рассматриваются свойства, остающиеся инвариантными при всех изменениях фигуры, за исключением тех, которые приводят к ее «разрыву» или «растяжению».)
