Монизм как принцип диалектической логики - [55]

Эвдем Родосский пишет: «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли... Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом нашего рассмотрения и, наконец, делается достоянием разума».

Совсем иначе смотрит на дело Б. Рассел: «Развитие неевклидовой геометрии постепенно выяснило, что геометрия бросает не более свету на природу пространства, чем арифметика – на население Соединенных Штатов»[133].

Спрашивается, что же, собственно, изменилось за это время в математике и дают ли эти изменения какие-либо основания для подобных выводов?

Что касается геометрии древних Египта и Двуречья, то на этот счет можно сказать, что геометрические (и математические вообще) знания этой эпохи еще не представляли собой науки в собственном смысле, но совокупность совершенно конкретных задач и эмпирически найденных решений, относящихся к измерению или исчислению объектов. О науке здесь говорить еще рано, так как не существовало единого способа подхода к этим эмпирическим проблемам.

Расцвет геометрии и превращение ее в относительно самостоятельную научную дисциплину имеет место в Древней Греции эпохи Евклида. В его «Началах» (около 300 г. до н.э.) мы имеем уже более или менее систематическое изложение основ геометрии. Евклид формулирует пять постулатов и девять аксиом, которые легли в основание всего последующего развития содержания геометрии.

Правда, Евклидово построение геометрии еще нельзя назвать строго аксиоматическим, так как он нередко прибегает не только к дедукции, но и к наглядной аргументации. Определения основных геометрических понятий у него зачастую носят характер наглядных описаний геометрических образов. Так, он «определяет» точку как то, «что не имеет частей», линию – как «длину без ширины» и т.п. Тем не менее уже можно говорить о тенденции к аксиоматическому, т.е. собственно логическому построению математики.

Хотя Евклид уже прибегает и к собственно математической аргументации, в целом его геометрия является описанием реального физического пространства, выполненным, однако, на математическом языке. Евклидово пространство – то же самое, с которым имел дело и землемер, и мореплаватель, и архитектор.

В этом отношении интересен пятый постулат, впоследствии названный «аксиомой о параллельных». Этот постулат гласит: «всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше 2 d, эти прямые пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 2 d». Или просто: через всякую точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Этот постулат причинил математикам много хлопот на протяжении почти всей истории математики, вплоть до революционного открытия Лобачевским неевклидовой геометрии. Многим математикам после Евклида казалось, что постулат не содержит в себе той очевидности и необходимости, которая свойственна его остальным утверждениям. Создалось убеждение, что данный постулат является не аксиомой, а теоремой, и были предприняты многочисленные попытки доказать пятый постулат как геометрическую теорему, т.е. вывести его из других аксиом, а тем самым показать, что аксиоматика Евклида нарушает, выражаясь языком современной логики, требование о независимости аксиом.

Так, византийскому геометру Проклу (V в. н. э.), комментарии которого сопровождали один из наиболее древних текстов «Начал», принадлежит следующее рассуждение о «пятом постулате»: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это – теорема, вызывающая много сомнений, которые Птолемей пытался устранить в одной из своих книг, и сам Евклид дает обращение этого положения в качестве теоремы.

Совершенно ясно, что должно быть найдено доказательство настоящей теоремы, а такое требование природе постулатов совершенно чуждо. Каким образом это предложение может быть доказано – это мы увидим ниже, придя к нему, когда элементы геометрии нас этому научат, ибо необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто, представляющееся нам очевидным без доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству»[134].

Помимо доказательства Прокла, которое мы здесь приводить не будем, существовали и многие другие «доказательства» V постулата. Общей их чертой было то, что все они основывались на явном или неявном введении новой аксиомы, эквивалентной аксиоме о параллельных. Многим математикам, работавшим в этой области, уже казалось, что идеал геометрии, как строгой науки, достигнут, что удалось очистить Евклида «от всех пятен». (Итальянский геометр Саккери, которому принадлежат известные заслуги в деле подготовки неевклидовой геометрии, назвал свой труд: «Евклид, очищенный от всех пятен».)

«Доказательства постулата Евклида, – писал в 1763 г. немецкий математик и философ Ламберт, – могут быть доведены столь далеко, что остается, по-видимому, одна мелочь. Но при тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейся мелочи и заключается вся суть вопроса; обыкновенно она содержит либо доказываемое предложение, либо равносильный ему постулат»