Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография - [16]
В июне 1918 г. германские войска готовились напасть на столицу Франции. Для союзников было крайне важно перехватить вражеские сообщения, чтобы выяснить, где именно произойдет вторжение. Немецкие сообщения, предназначенные для фронта, были зашифрованы шифром ADFGVX, который немецкие военные считали неуязвимым.
Наш интерес к этому шифру связан с тем, что он сочетает в себе алгоритмы подстановки и перестановочного шифрования. Это один из самых изощренных методов классической криптографии. Немцы начали использовать его в марте 1918 г., и как только французы узнали о его существовании, они отчаянно принялись за его взлом.
К счастью для них, в центральном шифровальном бюро работал талантливый криптоаналитик Жорж Панвэн. Он посвятил себя этой задаче, работая круглые сутки.
Ночью 2 июня 1918 г. Панвэну удалось расшифровать первое сообщение, зловещим содержанием которого был приказ фронту: «Ускорьте продвижение боевой техники. Даже в дневное время, лишь бы незаметно». В начале шифровки было указано, что она отправлена из местечка, расположенного между Мондидье и Компьень, в 80 километрах к северу от Парижа. Результат Панвэна позволил французам сорвать атаку и остановить продвижение немцев.
Как уже упоминалось, шифр ADFGVX состоит из двух частей: шифра подстановки и шифра перестановки. Первый шаг — подстановка — состоит в следующем: у нас имеется таблица размером 7 х 7, в которой первая строка и первый столбец содержат буквы ADFGVX (см. стр. 58). Остальные поля таблицы случайным образом заполняются 36 символами: 26 букв алфавита и цифры от 0 до 9. Расположение символов представляет собой ключ к шифру, и получателю, очевидно, нужна эта информация, чтобы понять содержание сообщения.
Мы будем использовать следующую таблицу:
Шифр сообщения состоит в замене каждого символа его координатами, выраженными группой букв ADFGVX. Первой координатой будет буква, соответствующая строке, а второй — соответствующая столбцу. Например, если мы хотим зашифровать цифру 4, мы должны написать DV. Сообщение Target is Paris («Цель — Париж») будет зашифровано следующим образом:
До сих пор мы использовали лишь простую подстановку, и частотного анализа было бы достаточно, чтобы расшифровать сообщение.
Однако этот шифр содержит второй шаг — перестановку. Она зависит от ключевого слова, о котором договорились отправитель и получатель. Этот шаг осуществляется следующим образом. Сначала мы построим таблицу с таким числом столбцов, сколько букв в ключевом слове, и заполним поля таблицы зашифрованным текстом.
Буквы ключевого слова пишут в верхнем ряду новой таблицы. В этом примере ключевое слово будет BETA. Построим таблицу, в которой первая строка состоит из букв ключевого слова и следующие строки содержат буквы, полученные после кодирования сообщения на этапе подстановки. Любые пустые ячейки заполняются цифрой ноль, которая, как видно из первой таблицы, имеет код AG.
Чтобы применить второй шаг к нашему сообщению «Цель — Париж», напомним сначала, что после подстановки оно выглядело так:
Используя ключевое слово BETA, мы получим следующую таблицу.
Применяя перестановочный шифр, изменим порядок столбцов, чтобы буквы ключевого слова были расположены в алфавитном порядке. Это даст нам следующую таблицу.
Зашифрованное послание получается, если брать буквы этой таблицы по столбцам. В нашем примере это будет:
AAXFAXGGFGVAFVXWXDVFFDGVFVA
Как мы видим, теперь сообщение состоит из вроде бы случайного набора букв A, D, F, G, V и X. Немцы выбрали эти шесть букв, потому что по звучанию в азбуке Морзе они сильно отличаются друг от друга, и получатель легко может отсеять возможные при передаче ошибки. Более того, поскольку сообщения состоят из шести букв, посылать такие телеграфные передачи могли даже неопытные операторы.
Если мы обратимся к таблице кодов Морзе в начале главы, то увидим следующие коды для каждой из букв шифра ADFGVX:
Чтобы расшифровать сообщение, получателю необходимо знать распределение букв и цифр в базисной таблице и ключевое слово.
В 1919 г. немецкий инженер Артур Шербиус запатентовал машину для защищенной связи. Ее название, «Энигма», с тех пор стало синонимом военной тайны.
Несмотря на свою сложность, «Энигма», по сути, является улучшенной версией диска Альберти.
Благодаря относительной простоте использования и сложности выдаваемых шифров, система «Энигма» была выбрана германским правительством для шифрования большей части военных донесений в годы Второй мировой войны.
Именно поэтому расшифровка кодов «Энигмы» стала абсолютным приоритетом для правительств стран, воюющих с нацистской Германией. Когда это наконец удалось, сообщения, перехваченные и расшифрованные разведками союзников, оказались решающими для завершения военного конфликта. История расшифровки кода «Энигмы» — это захватывающая эпопея с участием отделов разведки Польши и Великобритании, а также гениального математика Алана Тьюринга, человека, считающегося отцом современной вычислительной техники. В результате работы по взлому кода «Энигмы» появился первый в мире компьютер, что можно считать самым значительным событием в долгой и яркой истории военного криптоанализа.
Многие из нас слышали о том, что современная наука уже довольно давно поставила под сомнение основные постулаты евклидовой геометрии. Но какие именно теории пришли на смену классической доктрине? На ум приходит разве что популярная теория относительности Эйнштейна. На самом деле таких революционных идей и гипотез гораздо больше. Пространство Минковского, гиперболическая геометрия Лобачевского и Бойяи, эллиптическая геометрия Римана и другие любопытные способы описания окружающего нас мира относятся к группе так называемых неевклидовых геометрий.
В книге развита теория квантового оптоэлектронного генератора (ОЭГ). Предложена модель ОЭГ на базе полуклассических уравнений лазера. При анализе доказано, что главным источником шума в ОЭГ является спонтанный шум лазера, обусловленный квантовой природой. Приводятся схемы и экспериментальные результаты исследования малошумящего ОЭГ, предназначенного для применения в различных областях военно-космической сферы.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.