Математика. Утрата определенности. - [62]

Я могу сравнить то, что содержится в их книгах по арифметике и другим математическим наукам, только с перламутром, смешанным с незрелыми финиками, или с жемчужинами вперемешку с навозом, или с кристаллами, перемешанными с камешками. Обе части имеют для них равную ценность, поскольку у них нет примера восхождения к вершинам логического познания.

([35], с. 69.)

Так как индийцы питали особую склонность к арифметике и внесли основной вклад в развитие арифметики и алгебры, их деятельность привела к расширению той части математики, которая опиралась на эмпирическую и интуитивную основу.

В то время как индийцы практически игнорировали дедуктивную геометрию, арабы предприняли критическое изучение геометрических работ древних греков и по достоинству оценили роль дедуктивного доказательства в становлении геометрии. Однако в отношении к арифметике и алгебре, которым в арабской математической литературе отводилась более значительная роль, чем геометрии, арабы фактически мало чем отличались от индийцев. Арабов, как и их индийских предшественников, устраивало рассмотрение арифметики и алгебры на эмпирической, конкретной и интуитивной основе. Правда, некоторые арабские математики приводили геометрические соображения в обоснование решения квадратных уравнений, но в целом подход к решению и методология у арабов в отличие от греков классического периода по существу были алгебраическими. Кубические уравнения, например уравнение x³ + 3x² + 7x − 5 = 0, арабы решали, используя только геометрические построения, так как алгебраический метод решения таких уравнений еще не был открыт. Но их геометрические построения было бы невозможно выполнить с помощью циркуля и линейки, а доводы, приводимые в обоснование построений, не имели строго дедуктивного характера. На протяжении всех столетий, пока арабы активно занимались математикой, в своих оригинальных работах они мужественно сопротивлялись соблазнам точного рассуждения.

Наиболее интересной особенностью математики индийцев и арабов является их внутренне противоречивое представление о предмете математического исследования. То, что египтяне и вавилоняне были склонны воспринимать немногие известные им арифметические и геометрические правила на эмпирической основе, само по себе не удивительно. Эмпирическая основа естественна почти для всех видов человеческого знания. Но индийцам и арабам было известно совершенно новое понятие математического доказательства, доставшееся им в наследство от греков. Однако они не позаботились о том, чтобы применить понятие дедуктивного доказательства в арифметике и алгебре. Отношение индийцев к математике можно в какой-то степени объяснить. Индийцы не придавали особого значения тем немногим достижениям греческой математики классического периода, которые были им известны, и следовали в основном александрийскому подходу к арифметике и алгебре. Но арабы были хорошо осведомлены о греческой геометрии и даже, как упоминалось, предприняли попытку критического пересмотра результатов своих предшественников. Кроме того, на протяжении нескольких веков и арабы, и индийцы находились в благоприятных для занятий чистой наукой условиях — и ничто не вынуждало математиков жертвовать доказательством ради немедленной практической отдачи. Как могло случиться, что два эти народа подошли к развитию двух областей математики совершенно иначе, чем греки классического периода и многие из александрийцев?

На этот вопрос существует несколько возможных ответов. Прежде всего, индийские и арабские математики, несмотря на арабские комментарии к дедуктивной геометрии, по существу некритически отнеслись к греческому наследию. Возможно, именно поэтому они восприняли математику такой, какой она пришла к ним: геометрия, по их мнению, должна была оставаться дедуктивной, арифметика и алгебра — эмпирическими и эвристическими. Возможно и другое объяснение: и индийцы, и арабы, в особенности последние, по достоинству оценили высокие стандарты строгости в геометрии, столь разительно отличающиеся от требований, предъявляемых к арифметике и алгебре, но не сумели подвести под арифметику надлежащий логический фундамент. В пользу такого предположения говорит хотя бы то, что арабы приводили в подтверждение решений квадратных и кубических уравнений некоторые геометрические соображения.

Не исключены и другие объяснения. Так, индийцы и арабы отдавали предпочтение арифметике, алгебре и алгебраической формулировке тригонометрических соотношений. Подобное предрасположение может свидетельствовать об ином складе ума, оно может быть обусловлено и какими-то особенностями индийской и арабской культур. Обе эти цивилизации превыше всего ставили запросы практики, а для удовлетворения практических потребностей — как мы уже отмечали, говоря о развитии математики в александрийский период, — были необходимы количественные результаты, которые давали именно арифметика и алгебра. В пользу предположения о различных складах ума косвенно свидетельствует и реакция европейцев на математическое наследие, доставшееся им от индийцев и арабов. Как мы увидим в дальнейшем, европейцы были гораздо сильнее, чем арабы и индийцы, обеспокоены логическими проблемами в построении арифметики и геометрии. Безрассудная смелость индийцев и арабов вывела на передний план арифметику и алгебру (если говорить о практической полезности), поставив их почти наравне с геометрией (см., например, [9], [36], [37]).