Математика управления капиталом - [11]
Корреляция
Есть другой, и, может быть, лучший способ определения зависимости между размерами выигрышей и проигрышей. Этот метод позволяет рассмотреть размеры выигрышей и проигрышей с совершенно другой стороны, и когда он используется вместе с серийным f тестом, то взаимосвязь сделок измеряется с большей глубиной. Для количественной оценки зависимости или независимости данный метод использует коэффициент линейной корреляции г, который иногда называют пирсоновским r. Посмотрите на рисунок 1-2. На нем изображены две абсолютно коррелированные последовательности. Мы называем это положительной корреляцией.
Рисунок 1-2 Положительная корреляция (r =1,00)
Рисунок 1-3Отрицательная корреляция (r = -1,00)
Теперь посмотрите на рисунок 1-3. Он показывает две последовательности, которые находятся точно в противофазе. Когда одна линия идет вверх, другая следует вниз (и наоборот). Мы называем это отрицательной корреляцией.
Формула для коэффициента линейной корреляции г двух последовательностей Х и Y такова (черта над переменной обозначает среднее арифметическое значение):
Расчет следует производить следующим образом:
1. Вычислите среднее Х и Y (т.е. X и Y )•
2. Для каждого периода найдите разность между Х и средним X, а также Y и средним Y.
3. Теперь рассчитайте числитель. Для этого для каждого периода перемножьте ответы из шага 2, другими словами, для каждого периода умножьте разность между Х и средним X, на разность между Y и средним Y.
4. Сложите результаты, полученные в шаге 3, за все периоды. Это и есть числитель.
5. Теперь найдите знаменатель. Для этого возьмите результаты шага 2 для каждого периода, как для разностей X, так и для разностей Y, и возведите их в квадрат (теперь они будут положительными значениями).
6. Сложите возведенные в квадрат разности Х за все периоды. Проделайте ту же операцию с возведенными в квадрат разностями Y.
7. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат разностей X, которые найдены в шаге 6. Теперь проделайте то же с Y, взяв квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y.
8. Умножьте два результата, которые вы нашли в шаге 7, то есть умножьте квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Х на квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y. Это и есть знаменатель.
9. Разделите числитель, который вы нашли в шаге 4, на знаменатель, который вы нашли в шаге 8. Это и будет коэффициент линейной корреляции г.
Значение г всегда будет между +1,00 и -1,00. Значение 0 указывает, что корреляции нет.
Теперь посмотрите на рисунок 1-4. Он представляет следующую последовательность из 21 сделки:
Чтобы понять, есть ли какая-либо зависимость между предыдущей и текущей сделкой, мы можем использовать коэффициент линейной корреляции. Для значений Х в формуле для г возьмем P&L по каждой сделке. Для значений Y в формуле для г возьмем ту же самую последовательность P&L, только смещенную на одну сделку. Другими словами, значение Y — это предыдущее значение X. (См. рисунок 1-5.).
Рисунок 1-4Отдельные результаты 21 сделки
Рисунок 1-5Отдельные результаты 21 сделки, сдвинутые на 1 сделку
Средние значения различаются, потому что вы усредняете только те Х и Y, которые частично перекрывают друг друга, поэтому последнее значение Y (3) не вносит вклад в среднее Y, а первое значение Х (1) не вносит вклад в среднее X. Числитель является суммой всех значений из столбца Е (0,8). Чтобы найти знаменатель, мы извлечем квадратный корень из итогового значения столбца F, то есть 8,555699, затем извлечем квадратный корень из итогового значения столбца G, то есть 8,258329, и перемножим их, что даст в результате 70,65578. Теперь разделим числитель 0,8 на знаменатель 70,65578 и получим 0,011322. Это наш коэффициент линейной корреляции г. В данном случае коэффициент линейной корреляции 0,011322 едва ли о чем-то говорит, но для многих торговых систем он может достигать больших значений. Высокая положительная корреляция (по крайней мере, 0,25) говорит о том, что большие выигрыши редко сменяются большими проигрышами, и наоборот. Отрицательные значения коэффициента корреляции (между -0,25 и -0,30) подразумевают, что после больших проигрышей следуют большие выигрыши, и наоборот. Для заданного количества сделок с помощью метода, известного как «Трансформация Z Фишера», коэффициент корреляции можно преобразовать в доверительный уровень. Эта тема рассматривается в приложении С. Отрицательную корреляцию так же, как и положительную, можно использовать в своих интересах. Например, если обнаружена отрицательная корреляция и система показала большой проигрыш, то в следующей сделке можно ожидать большой выигрыш и таким образом открыть больше контрактов, чем обычно. Если и эта сделка принесет убыток, то он не должен быть очень большим (из-за отрицательной корреляции).
Наконец, при определении зависимости вы должны провести тесты по разным сегментам данных. Для этого разбейте ваши данные на две или более частей. Если вы увидите зависимость в первой части, тогда посмотрите, существует ли эта зависимость во второй части, и так далее. Это поможет исключить случаи, где появляется кажущаяся зависимость, но фактически ее нет. Использование этих двух инструментов (серийный тест и коэффициент линейной корреляции) поможет ответить на многие вопросы, однако только в том случае, если у вас есть достаточно высокая доверительная граница и/или достаточно высокий коэффициент корреляции. Большую часть времени эти инструменты вряд ли будут вам полезны, так как слишком часто во фьючерсных торговых системах зависимость отсутствует. Если вы получите данные, указывающие на зависимость, то следует обязательно воспользоваться этим обстоятельством в торговле, вернуться и включить новое правило в торговую логику, чтобы использовать зависимость. Другими словами, вы должны вернуться и изменить логику торговой системы, чтобы она учитывала эту зависимость (минуя определенные сделки или разбивая систему на две различные системы, например, одна для сделок после выигрышей и одна для сделок после проигрышей). Таким образом, можно утверждать, что, если в сделках появляется зависимость, вы не максимизировали систему. Зависимость, если она найдена, надо использовать (для этого измените правила системы), пока она не исчезнет. Первой ступенью в управлении деньгами
