Математика, Философия и Йога - [11]

Сейчас я попытаюсь подвести всему этому итог. Многие из вас еще не понимают, к чему я веду, но в действительности мы говорим о силах и слабостях, ограничениях чистого мышления, – а такое чистое мышление проявляется именно в математике. Поэтому я надеюсь, что вы не пожалеете о потраченном на понимание этих примеров времени – даже те из вас, у кого нет особых познаний в математике. Кроме того, подобные рассуждения отчасти подготовят нас к некоторым возможным трудностям.

Другой школой математики является формализм, связанный, в частности, с Гильбертом [22]. В отличие от школы Рассела, формализм уделяет особое внимание не логике, а необычным формам геометрии. Когда Евклид [23] писал свои труды по геометрии, он воспользовался рядом предположений, которые назвал «аксиомами», то есть «самоочевидными истинами», чем-то таким, в правильности чего никто не сомневается. В действительности, Евклид представил их в форме постулатов, а не обычных определений (аксиом) [24]. Он начал с этих положений и вывел из них все остальное. Пятая аксиома, известная как аксиома о параллельности [25], выглядит очень сложной. В ней утверждается: если сумма двух внутренних углов по одну и ту же сторону от некой прямой, пересекающей две заданные прямые, равна сумме двух прямых углов, то исходные прямые не пересекаются (см. рис. 10). Это утверждение кажется похожим на теорему, то есть на нечто требующее доказательства, но на самом деле это аксиома. В современных учебниках вы, вероятнее всего, встретите ее в такой формулировке (см. рис. 11): через точку С, не лежащую на прямой АВ, можно провести одну и только одну прямую, параллельную прямой АВ. Так ее описывают в наши дни, а первый вариант представляет собой формулировку Евклида. Поскольку она выглядит похожей на теорему, многие математики пытались доказать ее, опираясь на остальные аксиомы, но потерпели полную неудачу.

ПЯТАЯ АКСИОМА ЕВКЛИДА

Рис.10

Рис. 11

Следующим шагом стала попытка выдвинуть иные предположения. Лобачевский и Больяй [26] независимо друг от друга допустили, что через точку С, не лежащую на заданной прямой АВ, можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные АВ. Это означает, что и прямая CD, и прямая СЕ могут не пересечь прямую АВ -нигде, кроме, быть может, бесконечности. Просто предположим, что это правильно. Быть может, мы так не думаем, но дело не в этом. Можно ли, пользуясь этой аксиомой, построить внутренне непротиворечивую геометрию? Да. И это было сделано. В геометрии Лобачевского многие, практически все, положения Евклида, опирающиеся на аксиому о параллельности, выглядят совершенно иначе. Например, все вы знакомы с утверждением о том, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам, но в геометрии Лобачевского эта сумма всегда превышает сто восемьдесят градусов.

Другой математик, Риман [27], примерно в те же годы допустил, что через точку С невозможно провести ни одной прямой, параллельной заданной, то есть любая из них непременно пересечет выбранную прямую АВ на конечном расстоянии от точки С. Это уточнение очень важно. В геометрии Римана движение по любой прямой в одном направлении непременно заставит вас вернуться к исходной точке с другой стороны. Быть может, это противоречит интуитивным представлениям, но в построении такой геометрии тоже нет логических ошибок. Она внутренне непротиворечива.

По мнению Рассела, в математике допустимы любые внутренне непротиворечивые концепции. Это значит, что геометрии Лобачевского и Римана имеют право на существование. Через полсотни лет после Римана родился Эйнштейн, который развил общую теорию относительности. Обнаружив, что его концепция мироздания соответствует Римановой геометрии, Эйнштейн сказал: «Как могло случиться, что заточенного в башне из слоновой кости математика посещают совершенно правильные мысли о строении внешней вселенной?» Это очень хороший вопрос. Такого чистого математика, как Риман, интересует прежде всего, так сказать, интеллектуальное упражнение. Это относится ко всем чистым математикам. Подобно богам, они не руководствуются исключительно чувством долга. Математик делает нечто только во имя удовольствия. Такой образ жизни ведут все вольные души, и математики показывают нам огромное число примеров такой свободы. У вольной души нет обязанностей. Она делает что-то совершенно спонтанно, однако такие непреднамеренные действия почти всегда приводят к блестящим результатам. Да, чистый математик запирается в башне из слоновой кости и мыслит только ради удовольствия. После этого кто-то из проходящих мимо берет его результаты и обнаруживает, что они предлагают власть над той или иной сферой природы. Однако это вызывает у чистого математика боль, так как милая его сердцу чистота оказывается запятнанной практическим применением.

Рассказывают, что один математик, у которого возникла совершенно непрактичная идея, воскликнул: «Слава Богу, что эта мысль не имеет никаких вообразимых сфер приложения». Разве это странно? Что почувствует художник, если напишет прекрасную картину, а потом некто отберет ее и начнет использовать для продажи «кока-колы»? Те же чувства охватывают и чистого математика. Не все мы слеплены по одному образцу. Вот простой факт: практически все математические творения были созданы чистыми математиками, запиравшимися в башнях из слоновой кости; к тому же всем нам известно, что любые попытки творить ради практической пользы делают творчество невозможным. Единственным исключением стала развитая Ньютоном теория производных, то есть дифференциального исчисления. Ньютона занимали концепции мироздания, а математика оставалась для него лишь инструментом. То же самое можно сказать и о значении математики для Винера [28], одного из главных теоретиков в области создания вычислительных машин в наши дни. Он был склонен заниматься не чистой, а прикладной математикой.