Математика, Философия и Йога - [10]

Другим примером направления, никак не связанного с вычислениями, – кстати, очень красивым направлением, – является проективная геометрия. Думаю, пример из этой области покажется вам занятным. В проективной геометрии вообще не рассматриваются метрические свойства, в ней не используются измерения. Понятие меры является основополагающим во всем, что касается количества, но проективная геометрия занимается описательными свойствами. Начертим две произвольные прямые и назовем их L и L’ (см. рис. 8).

Рис.8

Выберем на каждой прямой по три произвольных точки. Обозначим точки на прямой L буквами А, В и С, а точки на прямой L' -А', В' и С’. Теперь соединим отрезком точки Аи В', а также пару А' и В. Отметим место пересечения этих отрезков. После этого построим отрезки, соединяющие пары точек В и С', С и В', С и А' и, наконец, С' и А. Помните, что прямые и все точки были выбраны совершенно произвольно, мы не прибегали к каким-либо измерениям. Кроме того, прямые вообще бесконечны. В проективной геометрии все прямые имеют бесконечную длину, так как операции с ними не связаны с измерениями. Длины и углы не имеют никакого значения. Эта теорема (первым ее доказал Паскаль [17], и она является частным случаем более общей теоремы о конических сечениях) заключается в том, что три полученные точки пересечения построенных отрезков лежат на одной прямой. Математику такой результат кажется очень красивым -и не потому, что его можно увидеть воочию, а по той причине, что он оказывается полной неожиданностью. Вся изюминка в том, что это справедливо для любых, самых произвольных прямых. Точки также выбираются произвольным образом – вы можете поместить их куда пожелаете. Вы просто чертите прямые L и L', проводите три соединяющих их отрезка – и обнаруживаете, что полученные точки пересечения находятся на одной прямой. Если вы ощутили это, то получили определенное представление о той красоте, которую ценят математики. Это умозрительная красота. Она заключается в том, что между элементами, которые казались независимыми, разрозненными, внезапно возникает некое единство. Подобные переживания случаются часто, но обычно осознаются только при высоком уровне сосредоточенности, способном вызывать экстатическое состояние.

Более полное и точное определение математики приводится в «Словаре философии и психологии» Болдуина. Там сказано, что «математика представляет собой науку об абстрактных отношениях» [18]. В своей статье для девятой редакции «Британской энциклопедии» Уильямсон говорит, что «любая концепция, полностью описываемая конечным набором определений, является математическим понятием» [19]. Кроме того, Рассел сказал, что чистая математика представляет собой класс всех утверждений в форме «р влечет q», где р и q являются утверждениями, содержащими один и тот же набор переменных и не включающими в себя никаких постоянных, кроме логических констант.

Вернемся к неметрическим областям математики. Помимо алгебры логики и проективной геометрии, существует топология, которую иногда называют «геометрией на резиновой плоскости». Это чрезвычайно важное направление. Топология изучает те отношения, которые остаются неизменными при любых деформациях пространства. Скажем, плоскость можно растянуть таким образом, чтобы квадрат превратился в круг, а эллипс – в любую другую фигуру. Что же останется неизменным? Связность отдельных частей. Подобные опыты приводят ко множеству занятных построений – например, к созданию односторонней поверхности -ленты Мебиуса (см. рис. 9).

ЛЕНТА МЕБИУСА

Рис.9

Если вы перекрутите бумажную ленту ровно один раз, а затем склеите ее концы, то сможете, не отрывая карандаш от бумаги, провести вдоль центральной оси этой ленты одну прямую, которая протянется по обеим сторонам и вернется к исходной точке без необходимости изменения направления движения на обратное.

Порой люди занимаются исследованиями очень странных вещей, многие из которых чрезвычайно далеки от вопросов, связанных с измерениями.

Мы приближаемся к тому вопросу, который выходит за рамки любых определений, – к вопросу об основополагающей сущности математики. В ней выделяют три общепризнанные школы. Одна из них известна как логицизм, и самым видным ее представителем был Рассел. Логицисты считают, что математика – это только логика. Они придерживаются представления о том, что всю ныне известную математику и любые математические направления, которые могут возникнуть в будущем, можно свести к чисто логическому процессу (такому процессу, который можно использовать для программирования технических устройств). Сделать это пока не удалось. Логицизм сталкивается со множеством трудностей, с очень серьезными парадоксами. Например, представим себе множество всех множеств, которые не являются собственными элементами. Входит ли такое множество само в себя [20]? В свое время этот вопрос, то есть задача, был направлен в адрес Пеано [21], который только что завершил двухтомный труд по математической логике. Книга уже была в типографии, но этот вопрос полностью обесценивал ее содержание. Пеано сказал: «Как трудно смириться с тем, что после долгих лет, посвященных научным исследованиям, воздвигнутая вами башня разваливается в один миг». Вы можете сами убедиться в том, что на такой вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Этот парадокс возник в рамках самого взгляда на природу математики. Я задумываюсь о том, не попытались ли логицисты сделать ее чрезмерно чистой – в том смысле, что практически отказались от интуиции и свели математику к логическому процессу, который не пользуется интуицией и не испытывает в этом потребности.