Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [27]

Шрифт
Интервал

Введите ‹>14900 √› и получите 122,065.

Значит, искомое расстояние чуть больше 122 м.

За более чем 2500 лет, прошедших со времени доказательства Пифагором этой теоремы, люди придумали не менее 300 других ее доказательств, основанных на сложных алгебраических вычислениях, чертежах и тригонометрии, а также следующий способ, где достаточно лишь посмотреть на несколько фигур:

Докажем, что a² + b² = c²



Внешние контуры обеих нижних фигур – это квадраты с длиной сторон (a + b). Это означает, что их площади равны и, следовательно, если из квадратов со стороной (a + b) вычесть площади четырех равных треугольников, то сумма площадей двух меньших квадратов будет равна площади большого квадрата. Вот мы и доказали, что a² + b² = c²!

Что такое вероятность

Вероятность наступления какого-либо события измеряется в простых дробях или процентах. Если что-то произойдет наверняка (например, насколько вероятно, что в следующем году пойдет дождь?), вероятность равна 1, или 100 %. Если что-то определенно не должно случиться (например, насколько вероятно, что у вас вырастут крылья?), вероятность равна 0, или 0 %. Если же событие в равной степени либо произойдет, либо нет (например, каковы шансы, что вы подбросите монетку и выпадет «орел»?), вероятность равна 1/2, или 50 %.

Когда событие крайне маловероятно, то проще сказать нечто вроде «вероятность выиграть джекпот в национальной лотерее Британии – примерно один шанс из 14 миллионов». Или, если точнее, это один шанс из 13 983 816, что соответствует дроби 1/13983816. Переводим ее в проценты и получаем 0,00000715 %.

Игральные кости

У обычной игральной кости шесть граней, поэтому шанс выбросить какое-либо конкретное число равен 1/6, или 16,7 %. Если же кидать две кости, может выпасть любая из 36 различных комбинаций.



Предположим, вам нужно выбросить 12 очков. Для этого должны выпасть две шестерки, и такой вариант только один среди 36 возможных комбинаций. Поэтому вероятность этого события составляет 1/36 = около 2,8 %.

Теперь допустим, что вы хотите получить сумму костей, равную 3. Для этого должно выпасть 2 и 1 либо 1 и 2, то есть всего две подходящие комбинации. Ваши шансы: 2/36 = 1/18 = около 5,6 %.



Чаще всего на костях выпадает сумма 7, поскольку для этого подходят шесть различных комбинаций. Вероятность такого события равна 6/36 = 1/6 = 16,7 %.

Дни рождения

А теперь, пожалуй, самое странное утверждение в этой книге: если в результате случайного отбора собрать в одной комнате 30 человек, вероятность того, что двое из них родились в один день, составит 70 %!

Чтобы это доказать, сперва выясним, каковы шансы, что ни у кого из 30 собравшихся дни рождения не совпадают (будем считать за совпадение одинаковый день и месяц, без учета года). Сначала в комнате находится один Фред, затем входит Джанет. Какова вероятность, что она родилась не в один день с Фредом? Будем считать, что в году 365 дней, и игнорировать високосные годы, потому что на ответ это практически не повлияет, но существенно усложнит вычисления.

Вероятность того, что Джанет родилась в один день с Фредом, равна 1/365. Следовательно, вероятность, что она не родилась с ним в один день, составит 364/365.

Третьим появляется Барни, и если день рождения Джанет не совпадает с днем рождения Фреда, то вероятность, что Барни не родился в один день с кем-то из них, равна 363/365. А вероятность того, что все трое родились в разные дни, составит:

364/365 × 363/365 = 99,18 %

Входит Агнесс. Вероятность, что ее день рождения не совпадает с другими, равна 362/365, а вероятность, что все четверо родились в разные дни, составит:

364/365 × 363/365 × 362/365 = 98,37 %

Постепенно комната заполняется, и мы перемножаем все больше и больше дробей, вычисляя вероятность несовпадения дат дней рождений. Когда в комнату заходит двадцать третий человек, происходит нечто странное. И наше уравнение приобретает следующий вид:

364/365 × 363/365 × 362/36 x… и так далее… × 345/365 × 344/365 × 343/365 = 49,27 %

То есть шансов, что все родились в разные дни, теперь меньше 50 %, а значит, вероятность совпадения дней рождения у двух человек уже немного превышает 50 %. Выходит, такое совпадение скорее имеет место быть, чем не имеет!

К тому моменту, как в комнате соберется 30 человек, вероятность, что дни рождения у всех разные, снизится примерно до 30 %, а вероятность, что двое из присутствующих родились в один день, составит около 70 %. Если вам сложно в это поверить, в следующий раз, когда рядом окажутся 30 человек, поинтересуйтесь, когда они родились. Да, это удивительно, но факт.


Карты и покерные комбинации

Предположим, у вас есть обычная колода из 52 игральных карт и вы хотите знать, какова вероятность выпадения той или иной карточной комбинации. Некоторые из этих вероятностей довольно легко просчитать.

Каковы шансы, что вверху колоды будут две совпадающие по номиналу карты

Если перетасовать колоду и снять верхнюю карту, она может оказаться любой, например четверкой треф. В колоде есть еще три совпадающие с ней по номиналу карты: четверка червей, четверка пик и четверка бубей. Всего остается 51 карта, следовательно, вероятность, что следующая карта совпадает с уже открытой, составит 3/51. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3, получаем 1/17.

Продолжить чтение
Рекомендуем почитать
На траверзе — Дакар

Послевоенные годы знаменуются решительным наступлением нашего морского рыболовства на открытые, ранее не охваченные промыслом районы Мирового океана. Одним из таких районов стала тропическая Атлантика, прилегающая к берегам Северо-западной Африки, где советские рыбаки в 1958 году впервые подняли свои вымпелы и с успехом приступили к новому для них промыслу замечательной деликатесной рыбы сардины. Но это было не простым делом и потребовало не только напряженного труда рыбаков, но и больших исследований ученых-специалистов.

Историческое образование, наука и историки сибирской периферии в годы сталинизма

Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.

Интеллигенция в поисках идентичности. Достоевский – Толстой

Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.

Князь Евгений Николаевич Трубецкой – философ, богослов, христианин

Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.

Технологии против Человека. Как мы будем жить, любить и думать в следующие 50 лет?

Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.

Лес. Как устроена лесная экосистема

Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.