Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [21]

Если в течение нескольких лет вы не будете снимать деньги со счета, то какую прибыль по процентам получите? Можно воспользоваться формулой для простых процентов.

простые проценты = p × r × t

p = первоначальный вклад

r = процентная ставка (в виде десятичной дроби)

t = количество лет

Таким образом, если вы положите в банк 700 фунтов под 6 % годовых на 3 года, прибыль по процентам составит: 700 × 0,06 × 3 = 126 фунтов. (Не забывайте, 6 % нужно преобразовать в 0,06!) Эти деньги поступят на ваш счет, и полная сумма ваших сбережений достигнет 826 фунтов.

Сложные проценты (или как получать больше денег)

Предположим, вы положили в банк 700 фунтов под 6 % годовых и через год сняли все деньги. Как мы уже знаем, это 742 фунта. Затем вы решили внести эту сумму обратно еще на год. Теперь прибыль по процентам составит 6 % от 742 фунтов, то есть 742 × 0,06 = 44,52 фунта. Это чуть больше, чем вы получили за первый год, и полная сумма ваших сбережений будет равна 786,52 фунта. Если вы снова заберете эти деньги и тут же положите обратно еще на год, то прибыль по процентам снова возрастет: 786,52 × 0,06 = 47,19 фунта.

Через три года на вашем счету будет 833,71 фунта. За счет того, что вы забирали и снова вкладывали деньги, вы получили дополнительные 7,71 фунта, то есть вам достались проценты от первоначальной суммы вклада плюс проценты от начисленных прежде процентов! Это называется сложными процентами.

Хорошая новость состоит в том, что банк не заинтересован, чтобы вы каждый год забирали и вкладывали обратно свои деньги, поэтому он будет сам начислять вам сложные проценты. Если он это делает раз в год, используется такая формула:

сложные проценты (годовые) = [(1 + r) >t − 1] × p

Давайте посмотрим, что произойдет с нашими 700 фунтами за 3 года. Подставим 0,06 вместо r, а 700 вместо p:

[(1 + 0,06)³ − 1] × 700

При вычислении этого выражения крайне важно соблюдать очередность выполняемых действий (см. раздел «Порядок действий»). Сначала считаем то, что находится в скобках с наибольшей вложенностью, затем степени, после чего умножаем/делим, потом складываем/вычитаем.

[(1 + 0,06)³ − 1] × 700 = [(1,06)³ − 1] × 700

Внутренние скобки: (1 + 0,06) = (1,06)

Содержимое скобки возводится в 3‑ю степень: то есть (1,06)3 = 1,06 × 1,06 × 1,06. Не пытайтесь выглядеть круто, возьмите калькулятор!

Степени и калькулятор

Чтобы посчитать (1,06)3, достаточно набрать ‹1,06 × 1,06 × 1,06 = › и получить в итоге 1,191016. Если у вас мощный калькулятор, поищите кнопку возведения в степень – на ней может быть написано: x^y, или x^y, или даже y^x. Чтобы вычислить (1,06)3, наберите ‹1,06 x^y 3 = ›; должен получиться тот же результат: 1,191016.

= [1,191016 − 1] × 700

Теперь, вычислив степень, уберем внутренние скобки. Во внешних скобках останется 1,191016 − 1 = 0,191016.

= 0,191016 × 700

Еще чуть-чуть, и готово…

= 133,71

Итак, проценты составят 133,71 фунта.

Поскольку наш исходный вклад равнялся 700 фунтам, через три года на счету будет 700 + 133,71 = 833,71 фунта. Такой же ответ мы получили ранее, значит, формула верна!

На самом деле в банках применяют еще более сложные формулы, пересчитывая проценты раз в месяц, а то и каждый день, так что прибыль выходит чуть больше… Не правда ли, очень мило с их стороны? К сожалению, у этой арифметики есть и обратная сторона, и если вы пользуетесь кредитной картой, то знаете, что я имею в виду!

Проценты по кредиту (или как терять деньги)

Если вы берете денежный займ или покупаете что-то по кредитной карте, вы платите банку проценты! И чем больше сумма кредита, тем больше придется платить.

Существуют тысячи разнообразных кредитных программ и процентных ставок: в зависимости от того, сколько вы зарабатываете, сколько хотите занять, для чего вам нужны деньги, как скоро можете их вернуть, нравится ли банковским служащим ваша рубашка и т. д. Как блестяще подытожил Боб Хоуп: «Банк – это место, где вам дадут денег, если вы сумеете доказать, что в них не нуждаетесь».

Далее будем считать, что вы взяли займ на 5000 фунтов в конторе «Акула-Кредит» с возмутительной процентной ставкой 10 % в месяц. Чтобы погасить кредит, вам нужно будет выплатить и проценты, и так называемый заемный капитал, то есть 5000 фунтов.

Взрывные проценты… и выплаты

Навскидку вы можете решить, что за год проценты составят 10 % × 12 = 120 %, и если прибавить это значение к 100 %, то получится, что к концу года (при отсутствии каких-либо выплат по кредиту) вам придется выложить 220 %. Увы, это не так.

По кредиту всегда взимаются сложные проценты. Спустя первый месяц вы будете должны 110 %, спустя второй месяц – уже 110 % × 110 %, спустя третий месяц – 110 % × 110 % × 110 % и т. д. Подразумевая, что 110 % – это 1,1, сколько вы будете должны к концу года? А вот сколько: 1,112 = 3,14, или 314 %. Проценты от процентов растут как на дрожжах!

Если в течение года вы не погасите кредит в 5000 фунтов, то через 12 месяцев ваш долг составит 5000 × 3,14 = 15 700 фунтов. Разумеется, чтобы долг не доходил до таких сумм, нужно совершать регулярные выплаты.

Наименее разумно (если в «Акула-Кредит» вам дадут такую возможность) выплачивать