Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [18]
Получаем:
Меняя знак, переносим 50 в другую часть уравнения и складываем две буквы c:
Тут все просто…
И наконец, делим обе части уравнения на 2, чтобы узнать цену щетки:
Согласно уравнению 2, s = 50 + c, так что получаем:
Выходит, ботинки стоят 50,5 фунта, а щетка 0,5 фунта. Ответ неожиданный, но верный!
Загадай число
Этот трюк можно проделать с любым числом, даже дробью. Давайте с помощью алгебры разберемся, что здесь к чему. Число нам неизвестно, поэтому просто назовем его n и посмотрим, что с ним происходит по мере выполнения разных действий.
Хватит алгебры
Заглянув в школьные учебники, вы увидите множество всяких x, y и задач, которые сводятся к перестановкам чего-либо с привлечением толики здравого смысла. Есть масса толстенных книг по алгебре, поэтому понятно, что я не могу рассказать здесь обо всем, но вот еще одна задачка, которую алгебра помогает решить весьма точно и элегантно.
На старинных часах ровно 6 часов вечера. Сколько будет времени, когда минутная стрелка догонит часовую?
Разумеется, сложность в том, что часовая стрелка постоянно медленно движется. Как же это учесть?
Допустим, m – это количество минут, прошедших после 6 часов до того момента, когда минутная и часовая стрелки совпадут.
Минутной стрелке понадобится 30 минут, чтобы добраться до цифры 6, плюс пройти дистанцию, которую преодолеет часовая стрелка за m минут. Давайте это запишем:
Нам нужно выяснить, как далеко продвинется часовая стрелка за m минут.
Минутная стрелка делает один полный оборот в час. Часовой стрелке нужно 12 часов, чтобы сделать полный оборот, то есть ее скорость – 1/12 от скорости минутной.
Составим уравнение:
Число 12 в качестве знаменателя выглядит отвратительно, однако не волнуйтесь – мы умножим на 12 обе части уравнения:
Перенесем + m в другую часть уравнения, поменяв знак:
Вычтем 1m из 12m:
Разделим обе части на 11:
Выходит, стрелки совпадут через 32,727 минуты после 6 часов вечера. Однако 0,727 минуты в ответе смотрятся некрасиво. Поскольку в минуте 60 секунд, в секундах это будет 0,727 × 60, то есть около 44 секунд. Теперь у нас есть понятный ответ: стрелки совпадут в 6:32:44 вечера.
Скорость
Всем нам порой приходится планировать свои передвижения. Возможно, вам интересно, сколько времени займет поездка на работу или, если вы добрались слишком быстро, не засекли ли ваш автомобиль дорожные радары…
Расчет скорости
К поездкам имеют отношение три фактора: расстояние, скорость и время в пути. Вот как они взаимосвязаны:
Здесь d обозначает расстояние (от англ. distance – расстояние), s – скорость (от англ. speed – скорость) и t – время (от англ. time – время).
То, что d = st, легко запомнить, поскольку буквы s, t стоят в алфавитном порядке. Из этого уравнения следуют два других.
Разделив обе части на t, получим: s = d/t
Или, разделив обе части на s, получим: t = d/s
А вот ситуация, в которой эти формулы очень пригодятся. Корабль отчаливает через 3 часа, а до причала, где он пришвартован, ехать 150 миль. С какой скоростью нужно двигаться, чтобы не опоздать?
Зная два параметра, всегда можно вычислить третий – так что давайте разбираться, с какой скоростью нужно вести машину. Нам известно, что d = 150 миль, а t = 3 часа, поэтому подставим эти величины в формулу s = d/t и получим s = 150/3 = 50 миль в час. Скорость измеряется в милях в час, потому что мы делили количество миль на количество часов.
Правильные единицы измерения
У этой пары есть 10 минут, чтобы добраться до родильного дома, а велосипедист едет со скоростью 20 миль в час. Успеют ли эти бедолаги? Нам надо выяснить, за какое время можно преодолеть 3 мили, двигаясь со скоростью 20 миль в час. Используя формулу t = d/s, получим: t = d/s = 3/20.
Поскольку скорость выражена в милях в час, в результате выйдет 3/20 часа, однако нам нужно время в минутах. В часе 60 минут, стало быть, в минутах это будет 3/20 × 60 = 9 минут. Так что, когда парочка доберется до роддома, в запасе у них останется всего минута. Будем надеяться, что в приемной нет очереди.
Комбинирование разных скоростей
Допустим, вы должны преодолеть на машине 400 миль максимум за 8 часов. Если всю дорогу ехать с постоянной скоростью, формула s = d/t подскажет, что она должна равняться 400 ÷ 8 = 50 миль в час.
Теперь предположим, что вы проехали первые 200 миль со скоростью 40 миль в час. С какой скоростью нужно ехать оставшиеся 200 миль, чтобы уложиться в отведенные 8 часов? Может показаться, что подходящий ответ – 60 миль в час, но это неверно!
Сначала выясним, сколько еще осталось времени. Раз вы проехали 200 миль со скоростью 40 миль в час, воспользуемся формулой t = d/s, чтобы узнать, сколько вы уже находитесь в пути: 200 ÷ 40 = 5 часов. Значит, оставшиеся 200 миль нужно преодолеть за 3 часа, поэтому ехать надо со скоростью 200 ÷ 3 = 66,7 миль в час.
Проценты
С процентами мы сталкиваемся повсюду – от магазинов до банков, от платежных ведомостей до результатов экзаменов. Несложные проценты, такие как 50 %, 33 % или 25 %, часто используются для описания специальных предложений в торговых точках, однако если вы имеете дело с налогами или кредитной картой, вам знакомы куда более замысловатые процентные соотношения. Так или иначе, проценты стоят того, чтобы в них разобраться. Как обычно в математике, изначально все исключительно просто: один процент обозначается как 1 %, и это в точности соответствует 1/100, или 0,01. А сто процентов, или 100 %, – это то же самое, что 100/100, то есть 1.
