Математика для взрослых. Лайфхаки для повседневных вычислений - [17]
Допустим, у вас есть квадратный блок почтовых марок размером 6 × 6. Кто-то оторвал от него несколько марок, оставив вам квадрат 4 × 4. Сколько марок забрали?
Нам нужно вычислить 62 − 42. Вычитание квадрата одного числа из квадрата другого называется разностью квадратов. В данном случае все просто, поскольку числа небольшие. Получаем 36 − 16 = 20. Однако есть более быстрый способ подсчета, который подходит для квадратов любых чисел.
Звучит довольно странно, однако вот что это означает: чтобы вычислить 62 − 42, сначала нужно узнать сумму двух чисел: 6 + 4 = 10. Кроме того, понадобится их разность: 6 − 4 = 2. Теперь умножаем сумму на разность: 10 × 2 = 20. Такой же ответ мы получили раньше.
Вместо того чтобы рассуждать об этом на словах, проще записать правило разности квадратов в виде алгебраического уравнения. Обозначим буквой a первое число и буквой b второе, тогда наше правило будет иметь следующий вид:
Мы уже наблюдали, как это работает для a = 6 и b = 4, однако данное уравнение подходит для любых a и b. Если вы думаете, что разность квадратов вам никогда не пригодится в жизни, представьте, что a = 20 и b = x, и посмотрите на уравнения из задачки о земельной афере. Там у нас (20 − x)(20 + x) = 400 − x², тот же самый результат!
Помните подраздел «Фокус с тремя числами», размещенный в начале книги? Там я объяснял, что какими бы ни были три последовательно идущих числа, если умножить большее из них на меньшее, результат всегда будет на единицу меньше второго числа, возведенного в квадрат. Например, возьмем 12, 13 и 14. Результат умножения 12 × 14 = 168, что на единицу меньше, чем 132 = 169.
Опять воспользуемся уравнением для разности квадратов, подставив вместо b единицу. Вот что получится:
Вспоминаем, что 12 = 1 × 1 = 1, поэтому выходит
Теперь предположим, что a – второе из трех последовательно идущих чисел. Тогда (a + 1) будет наибольшим числом, а (a − 1) – наименьшим. Уравнение говорит нам, что если взять квадрат второго числа и вычесть из него единицу, то результат будет равен наибольшему числу, умноженному на наименьшее.
В случае с числами 12, 13 и 14 a = 13, но, разумеется, вместо 13 можно выбрать любое другое значение. Вот почему этот фокус применим к любым трем последовательно идущим числам.
Помните, выше я предупреждал вас о такой вероятности? Если вы дочитали до этого места, значит, усердно трудились и многое узнали, поэтому будет совершенно справедливо вознаградить вас за старания неограниченными космическими суперспособностями…
Начнем с двух чисел, a и b, которые волей случая оказались равны:
Будем обращаться с обеими частями этого уравнения совершенно одинаковым образом. Смотрите внимательно…
Умножаем обе части на a: a² = ab
Вычитаем из обеих частей b²: a² – b² = ab – b²
С левой стороны уравнения получается разность квадратов, поэтому, как мы знаем, a² − b² = (a + b)(a – b). С правой стороны выходит ab − b², где оба элемента делятся на b, стало быть, это выражение можно записать как b(a − b). Все эти действия допустимы и абсолютно корректны.
Таким образом, получаем (a + b)(a – b) = b(a – b)
Теперь разделим обе части на (a – b) и получим (a + b) = b
Перед скобками множителя нет, а значит, их можно просто убрать
Переносим +b в другую часть уравнения, меняя знак:
И вот итог: a = 0
Теперь вспоминаем, что a и b могут быть любыми числами, следовательно, мы только что доказали, что любое число равно нулю. То есть получается, что любые измерения времени, пространства или веса несущественны: прощай, Вселенная!
Наша ошибка состояла в том, что мы разделили обе части уравнения на (a − b). Но в случае, когда a = b, (a − b) = 0. Единственное, чего нельзя делать одновременно с обеими частями уравнения, – это делить на ноль! Если, конечно, вы не собираетесь потратить денек-другой на попытки разрушить Вселенную…
Системы уравнений
Если два неизвестных числа входят в два различных уравнения, их, как правило, можно найти.
Вот классическая задачка. Пара ботинок и щетка для обуви стоят 51 фунт, причем ботинки на 50 фунтов дороже щетки. Какова цена щетки?
Попробуйте спросить об этом Малькольма. Скорее всего, он ответит, что щетка стоит 1 фунт, а ботинки 50 фунтов, но тогда получается, что ботинки лишь на 49 фунтов дороже щетки… Выходит, Малькольм ошибается?!
Поразмыслив, вы можете угадать ответ, но я хочу рассказать, как получить его с помощью алгебры. Обозначим цену ботинок буквой s, а цену щетки c. К счастью, у нас достаточно сведений, чтобы составить два уравнения:
Уравнение 1. Ботинки и щетка стоят 51 фунт: s + c = 51
Уравнение 2. Ботинки стоят на 50 фунтов дороже щетки: s = 50 + c
Простейший способ решения системы уравнений называется подстановкой. Исходя из уравнения 2, s = 50 + c, поэтому перепишем уравнение 1, подставив туда (50 +
