Математический аппарат инженера - [20]
Каждое ребро графа, как и каждая вершина (за исключением точек сочленения), принадлежат только одному из его блоков. Более того, только одному блоку принадлежит и каждый простой цикл. Отсюда следует, что совокупность блоков графа представляет собой разбиение множеств ребер и простых циклов на непересекающиеся подмножества.
Рис. 14. Разделимые графы:
а - с точкой сочленения; б - с мостом; в - блоки B>1 - B>3 графа с мостом
В ряде приложений теории графов блоки можно рассматривать как компоненты. Это обычно допустимо, когда связи блоков посредством точки сочленения несущественны или когда существенные свойства графа связаны только с его простыми циклами (контурами). В таких случаях можно рассматривать несвязный граф как связный разделимый граф, который образуется путем такого объединения компонент, чтобы каждая из них была блоком (это всегда можно сделать, объединив, например, по одной вершине каждого блока в точку сочленения). Подобные операции используются при рассмотрении графов электрических цепей.
12. Деревья и лес.Особый интерес представляют связные ациклические графы, называемые деревьями. Дерево на множестве р вершин всегда содержит q = р - 1 ребер, т. е. минимальное количество ребер, необходимое для того, чтобы граф был связным. Действительно, две вершины связываются одним ребром, и для связи каждой последующей вершины с предыдущими требуется ребро, следовательно, для связи р вершин необходимо и достаточно р - 1 ребер.
При добавлении в дерево ребра образуется цикл, а при удалении хотя бы одного ребра дерево распадается на компоненты, каждая из которой представляет собой также дерево или изолированную вершину. Несвязный граф, компоненты которого являются
- 55 -
деревьями, называется лесом (лес из к деревьев, содержащий р вершин, имеет в точностир - к ребер). Сказанное иллюстрируется на примере дерева (Рис. 15, а), которое превращается в циклический граф добавлением ребра (Рис. 15, б) и распадается на лес из двух деревьев T>1 и T>2 при удалении ребра е (Рис. 15, в).
Рис. 15. Дерево (а), образование цикла при введении дополнительного ребра (б) и лес, который образуется после удаления ребра е (в).
Обычно деревья считаются существенно различными, если они не изоморфны. На Рис. 16 показаны все возможные различные деревья с шестью вершинами. С увеличением числа вершин количество различных деревьев резко возрастает (например, при р = 20 их насчитывается около миллиона). Среди различных деревьев выделяются два важных частных случая: последовательное дерево, представляющее собой простую цепь, и звездное дерево, в котором одна из вершин (центр) смежна со всеми остальными вершинами.
Рис. 16. Существенно различные деревья с шестью вершинами.
Рис. 17. Прадерево с корнем v>0.
Рассматриваются также деревья с ориентированными ребрами (дугами). Ориентированное дерево называется прадеревом с корнем v>0 , если существует путь между вершиной v>0 любой другой его вершиной (Рис. 17). Ясно, что прадерево имеет единственный корень.
До сих пор рассматривались деревья как минимальные связные графы на множестве р вершин. Важное значение имеет и другая точка зрения, когда деревья или лес являются частями некоторого графа, т. е. образуются из его ребер. Любая связная совокупность ребер, не содержащая контуров, вместе с инцидентными им вершинами образует дерево графа (Рис. 18, а). Если такое дерево является суграфом (содержит все вершины графа), то оно называется покрывающим деревом или остовом (Рис. 18, б). Так как петля
- 56 -
представляет собой простейший цикл, состоящий из единственного ребра, то она не может входить в состав любого дерева графа.
Ребра графа, которые принадлежат его дереву, называют ветвями. Если дерево покрывает граф, то множество ребер графа разбивается на два подмножества: подмножество ветвей и подмножество ребер дополнения дерева, называемых хордами. При этом связный (р, q) - граф содержит v = р - 1 ветвей и σ = q - р + 1 хорд. Если граф несвязный, то совокупность, остовов R его компонент образует покрывающий лес. В этом случае ν = р - R и σ = q - р + R.
Рис. 18. Дерево как часть графа (выделено жирными линиями):
а — дерево; б — остов (покрывающее дерево).
Деревья играют важную роль в различных прикладных задачах, когда, например, речь идет о связи каких-либо объектов минимальным числом каналов (линий связи, дорог, коммуникаций) с определенными свойствами. С помощью дерева определяется система координат при моделировании цепей и систем различной физической природы. Деревья используются в качестве моделей при рассмотрении иерархических систем объектов, структурных формул органических соединений и т. п.
13. Планарность. Граф называют плоским (планарным), если существует изоморфный ему граф (геометрическая реализация), который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер. Например, хотя в одном из графов на Рис. 10 ребра пересекаются, изоморфные ему не имеют пересечений, следовательно, он плоский.
На Рис. 19 показаны два неплоских графа, играющие фундаментальную роль в теории планарности и называемые графами Понтрягина - Куратовского. Полный пятиугольник (Рис. 19,а) представляет собой простой неплоский графе минимальным числом вершин (полный графе четырьмя вершинами - плоский, а удаление из пятиугольника хотя бы одного ребра также превращает его в плоский граф). Двудольный граф (Рис. 19, б) является моделью известной задачи о трех домах и трех колодцах: можно ли проложить от домов к каждому колодцу дороги так, чтобы они не пересекались (враждующие соседи должны иметь возможность пользоваться всеми колодцами, но не хотят встречаться на дорогах).
