Математический аппарат инженера - [13]

. Совокупность ii-клеток (i = 1, 2, ..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Матрица, все элемента которой вне главной диагонали равны нулю, т.е.

называется диагональной и более кратко записывается D = diag(d₁, d₂, ..., d_n). Если в диагональной матрице d₁ = d₂ = ...= d_n = 1, то имеем единичную матрицу n-го порядка

- 31 -

которая часто обозначается также через 1_n или просто цифрой 1 (не следует принимать это обозначение за число, равное единице).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается цифрой 0. Заметим, что нулевая матрица может иметь любой размер m × n, в то время как единичная матрица всегда квадратная. Матрица, состоящая только из одного элемента, обычно отождествляется с этим элементом.

Квадратная матрица зазывается верхней (нижней) треугольной, если равны нулю все элементы, расположенные под (над) главной диагональю:

Диагональная матрица является частным случаем как верхней (А), так и нижней (В) треугольных матриц.

3. Сложение матриц. Сумма двух матриц А и В одинаковых размеров определяется как матрица С тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц, т.е. C = A +B, если c_ij = a_ij + b_ij. Пример:

Из приведенного определения следует, что операция сложения матриц коммутативна, т.е. А+В = В+А, и ассоциативна, т.е. (А+В)+С = А+(В+С). Она естественным образом распространяется на любое число слагаемых. Очевидно также, что матрица А не изменяется при суммировании ее с нулевой матрицей тех же размеров, т.е. А + 0 = А.

4. Умножение матрицы на число. По определению произведением матрицы А на число α (в отличие от матриц и векторов, числа часто называют скалярами) является матрица С = αА, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов матрицы А на это число α, т.е. c_ij = αa_ij. Пример:

- 32 -

Очевидно, справедливы следующие соотношения: α(A + B) = αA +αB; (α + β)A = αA + βA; (αβ)A = α(βA), где A и B — матрицы одинакового размера; α и β — числа (скаляры). Общий множитель элементов можно выносить за знак матрицы, считая его скалярным множителем.

Разность двух матриц одинаковых размеров сводится к уже рассмотренным операциям соотношением A — B = A + (-I)B, т.е. C = A — B, если c_ij = a_ij — b_ij.

5. Умножение матриц. По многим соображениям целесообразно определить эту операцию следующим образом: Произведением матрицы A размера (m × n) на матрицу B размера (n × r) является матрица C = AB размера (m × r), элемент c_ij которой, расположенный в ij-клетке, равен сумме произведений элементов i-й строки матрица A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B, т.е.

Умножение А на В допустимо (произведение АВ существует) если число столбцов А равно числу строк В ( в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:

- 33 -

Для матриц A (m × n) и B(n × m) существует как произведение АВ размера m × m, так и произведение BA размера n × n. Ясно, что при m × n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т.е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц

имеем:

Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB ≠ BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).

Умножение (m × n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. E_mA = AE_n = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.

Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:

6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при

- 34 -

сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается A^t или A':

Произвольная (m × n) — матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент a_ij занимает ji — клетку, т.е. a_ij = a^t_ji.

Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = A^t, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением a_ij = a_ji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -A^t, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением a_ij = -a_ji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. a_ii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:

Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n