Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [54]
Чтобы разобраться в других замаскированных арифметических расчетах философии Платона, надо вспомнить следующие дефиниции.
В последовательности чисел
1, 5, 9, 13, 17, 21
шаг между числами остается прежним – 4. Числа формируют «арифметическую прогрессию» с первым членом 1 и «разностью арифметической прогрессии» 4. Арифметическая прогрессия с начальным членом 6 и разностью 5 следующая:
6, 11, 16, 21, 26, 31…
Бросается в глаза, что 16 = >1/>2 (11 + 21), 21 = >1/>2 (16 + 26) и так далее, где каждое последующее число после первого есть половина суммы от своих правого и левого соседей. По этой причине каждое число после первого называется «средним арифметическим значением» непосредственно предшествующего числа и непосредственно последующего.
Теперь, допустим, мы делим 1 на каждое число в данной арифметической прогрессии, скажем второй сверху:
>1/6, >1/>11, >1/>16, >1/>21, >1/>26, >1/>31…
Полученная последовательность чисел называется «гармонической прогрессией», где каждое число после первого является «гармоническим средним значением» своих непосредственных соседей. В качестве примера одна из последовательностей
>3/4, 1, >5/>4, >3/>2, >7/>4, 2, >9/>4…
>4/3, 1, >4/>5, >2/>3, >4/>7, >1/>2, >4/>9…
арифметическая прогрессия, а вторая – «гармоническая прогрессия».
Третьим и последним видом прогрессии, постоянно упоминающимся Платоном, является «геометрическая», в которой каждое число после первого получается путем умножения предыдущего числа на постоянный множитель. Например:
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192…
является геометрической прогрессией с первым числом 3 и множителем, или общим коэффициентом, 2. «Среднее геометрическое значение» 6 и 24 есть число 12, расположенное между ними, среднее геометрическое значение 48 и 192 есть 96 и т. д.
Несложные алгебраические преобразования продемонстрируют, что если A, H, G соответственно арифметическое, «гармоническое» и геометрическое средние значения чисел M, N, тогда
Еще чуть-чуть, и становится очевиден простой факт, который обрадовал и ввел в заблуждение древних нумерологов, включая Платона, ведь получается, что G есть среднее геометрическое значение для A and H. В целом, похоже, греческим философам повезло, что они не знали алгебры. Теперь вся элементарная и замаскированная алгебра Платона стала настолько банальной для современных школьников, что любой математик обязан восхититься упрямой изобретательностью, которая впервые задумалась над этим пусть и устно, без математических символов любого рода. Выражение, что A/G = G/H, или A: G:: G: H, было названо пифагорейцами «совершенной пропорцией». Говорят, что его принес Пифагор в Кротон из Вавилона. Любой математик с достаточно развитым воображением в состоянии лишить себя на мгновение всей накопленной техники и задуматься над риторической арифметикой VI века до н. э. и согласиться с братством пифагорейцев, что «совершенная пропорция» не могла быть изобретением человека, а только творением лично Великого арифметика вселенной.
«Гармоническая прогрессия» и среднее «гармоническое значение», не выраженное явно в важном открытии, является результатом нумерологического выражения закона музыкальных интервалов, который вдохновил Пифагора на его изречение «Все сущее есть число». Он и его ученики искали музыку и гармонию в четырех элементах всех материальных вещей и небесных тел. То, что они нашли искомое, не столь удивительно, когда мы вспомним, что вся гармония, весь космос, все предметы и все тела, небесные и земные, вписаны в декады, которые в основе всего. После того как Платон изложил теорию, продолжив по окончании доказательства, что все есть единица, а следовательно – божество: «Если теперь рамки вселенной были созданы просто как поверхность без глубины, единица приобрела значение достаточное, чтобы объединить ее с другими условиями. Но поскольку мир должен быть тверд, а твердые тела всегда плотные, и не по одной причине, а по двум, бог дал воду и воздух как среднее значение между огнем и землей и, насколько это возможно, заставил их придерживаться пропорции, поскольку огонь нужен воздуху, воздух нужен воде, а если воздух нужен воде, то вода нужна земле. Так он создал и объединил видимые и осязаемые небеса. Вне четырех элементов он расположил тела во Вселенной в совершенной гармонии и пропорции (совершенной пропорции). Будучи, таким образом, наделенным духом дружбы, в полном единении с самим собой, космос стал неразрушимым для любой другой руки, кроме руки творца».
Не вдаваясь в детали этого конкретного утверждения об основных принципах, отметим, что «дух дружбы» относится к любопытным особенностям конкретных пар чисел, открытых пифагорейцами. Если каждое из чисел m, n равно сумме делителей эфира, то т, п называются «дружественной парой чисел», а m, n становятся «дружескими», или «дружественными», числами. Что касается делителей «совершенных чисел», само число не рассматривается как делитель. Наименьшие «дружественные числа» – это 220 и 284. Пифагорейцы рассматривали этот близкий союз между «дружественными числами» как концентрированное выражение дружбы и глубоко спрятанную душу гармонии.
