Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [31]
Существует незыблемое правило литературы, согласно которому автор не должен обманывать своего читателя. Если же вас честно предупреждают, что вас ожидает обман, вас может увлечь сама идея обнаружить, в чем же конкретно состоит надувательство. Соблюдать правила игры – даже лучше, чем говорить только правду, и с этим я приступаю к изложению очередной легенды о Пифагоре. Легенда повествует о самом важном вкладе Пифагора в науку. Мало того, этот вклад – одно из двух наиболее важных событий в нашей научной цивилизации. Другим было начало развития математики как дедуктивной науки.
По форме эта легенда представляет собой добротный рассказ, такой же, как и все устные рассказы, дошедшие до нас с древних времен. Более двух тысячелетий многочисленные историки науки и философии воспринимали ее как вполне правдоподобный факт. Прошу обратить ваше внимание, что я не написал, будто эта легенда была принята учеными. Дам вам еще один намек: никто из ученых «не принял бы» эту легенду. Ученые поступили бы иначе.
Возможно, вам доводилось читать книгу на тему о том, «как читать книгу», или «как читать две книги», или даже (если вы болезненно щепетильны в вопросах сохранения ваших умственных способностей) «как читать страницу». В дополнение к превосходным инструкциям во всех таких практических руководствах хорошо бы при прочтении книг, в которых хоть что-нибудь касается науки, включать свою собственную голову. Итак, я почти раскрыл перед вами все карты, поэтому без дальнейших вступлений перехожу непосредственно к сути. Начну с самой легенды.
Вероятно, именно в Кротоне Пифагор открыл те физические факты, на которых базируется акустика и арифметика музыкальной гармонии. Однажды проходя мимо кузницы, Пифагор остановился, привлеченный лязгом молотов и молотков, которыми четыре раба по очереди били по куску раскаленного докрасна металла. Все, кроме одного, звучали согласованно. Изучив вопрос, он понял, что различия в звучании каждого из четырех объяснялись соответствующим различием в их весе. Без особых трудностей он убедил кузнеца одолжить ему молоты часа на два. За такое короткое время ему предстояло изменить курс западной цивилизации по направлению к новой и неизвестной цели. Взвалив молоты на плечи, он поспешил назад к дому Милона. Там на глазах испуганных и изумленных атлета и его жены Пифагор немедленно приступил к первому в истории зарегистрированному научному эксперименту.
К каждой из четырех одинаковых по толщине и длине жил он привязал по одному молоту. Затем он с особой тщательностью взвесил каждый из молотов. Как он это делал, не имеет значения; главное, он это сделал. Затем он подвесил молоты таким образом, чтобы все четыре жилы под напряжением оказались одинаковой длины. Пощипывая жилы, он заметил, что издаваемые ими звуки соответствовали тем звукам, которые раздавались при ударах соответствующих молотов о наковальню. Прилепив небольшой кусок глины к молоту, звук которого нарушал гармонию, он добился, что жила стала издавать звук, не вызывавший диссонанс. Четыре ноты, теперь совершенно гармоничные, согласованно дрожали в воздухе в мелодичном аккорде.
Пифагор был даже глубже потрясен, нежели его охваченная благоговейным страхом аудитория, состоящая из хозяина дома и его жены. Ведь в том таинственном аккорде он узнал те первые божественные ноты ускользающей музыки небесных сфер, которые часто посещали его сны, когда он был совсем ребенком.
Так как он знал вес молотов (а они, должно быть, были совершенной сферической формы из чистого золота), он очень скоро вывел закон музыкальных интервалов. К своему удивлению, Пифагор обнаружил, что музыкальные звуки и целые числа имеют простую связь. Какую – на данный момент не является существенным. Это было огромное и беспрецедентное открытие, первый намек на тот факт, что законы природы можно записать числами.
Такая вот история. Что-то не так? Если вы изучали физику в школе, вы дисквалифицированы на это состязание, поскольку вы знали ответ раньше, чем начали читать эту историю. Но если вас никогда не интересовали ни звуки, ни физические явления, связанные с музыкой, для вас это серьезное испытание. Вы пытались представить себе, как вы проводите тот же эксперимент, что и Пифагор? Если пытались, то вы уже на полпути к решению. Если вы попытались провести свой эксперимент из подручных средств или пытались стучать по ковшу или эмалированному тазу металлическими предметами различных весов, честь вам и хвала. Если вы не делали ничего подобного, попробуйте сделать это при первом же удобном случае. Отлично подзванивает винный бокал, если постукивать по нему ложками, ножами или вилками разных размеров. Вы получите превосходную возможность приобщить вашего будущего восхищенного сотрапезника к чудесам науки, когда он или она уже начнут изнывать от скуки (последнее предложение чисто философское; я никогда не проверял его экспериментально). Вы обнаружите, что веса ваших «молотков» не имеют никакого отношения к тональности. И если бы в любое время за все те столетия от Пифагора до Галилея ученые эрудиты, которые пересказывали эту абсурдную легенду своим преемникам, провели несколько минут в кузне, они убедились бы, что, по существу, вся эта история просто нелепа. Для полного соответствия духу викторианского романа я должен закончить свое авторское отступление моралью.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.