Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [130]
Диагноз Джеффриса был детализирован Луи Наполеоном Георгом Файлоном, математиком и физиком более старой традиции: «Настоящим бедствием оказывается тот факт, что вместо того, чтобы начинать с наблюдательных фактов и затем постепенно выстраивать методом индукции частные законы, которые либо окажутся, либо не окажутся в дальнейшем связаны между собой, некоторые представители науки, вероятно, думают, будто они в состоянии объяснить все глобальные вопросы природы с помощью некоторой комплексной математической интуиции. На самом деле они не природу изучают, а исследуют возможности человеческого сознания». И затем живительный ироничный штрих: «Я, кажется, припоминаю фразу, которую лицемерно произносили по поводу гипотез, «раздробленных в тиши уединенных кабинетов». Судя по той научной литературе, которая публикуется в наши дни, что-то, видимо, случилось с нашими дробильными машинами».
Профессиональному астроному, Ральфу Аллену Сэмпсону, оставалось только напомнить пифагорейцам, что логика (их или таковая кого-либо еще) малозначима для реального мира. «Ибо там, где действует логика, – заметил Сэмпсон, – она предлагает нам сообщить, что случится в другом времени и месте, о котором, в соответствии с гипотезой, мы не имеем никакого представления. Конечно, большая часть логики является объяснительной [аналитической, по Канту], простым подробным разъяснением подразумевающегося в утверждениях. Возьмите, к примеру, математику. Утверждения, найденные у Евклида, содержатся в определениях, постулатах и аксиомах. Это – простые утверждения. Ни одно из них не может быть доказано или опровергнуто, и интерес к ним зависит от того, как они согласовываются с внешним миром. Все остальное – процесс подробного разъяснения, и так для других случаев – все следуют по одинаковой схеме. <…> Самая большая ошибка состоит в том, что математика затуманивает различие между прошлым и будущим – количества, которыми она апеллирует, бесконечны».
Философы, которые рискнули принять участие в дискуссии, были вызывающе резко встречены выдающимся математическим физиком Чарльзом Галтоном Дарвином – почти столь же неучтиво, сколь до этого появление классических метафизиков встречали современные символические логики. Дарвин был даже прямолинейнее, чем Карнап. «Факт остается фактом, – указал он. – Только естествознание, а не философия несет в себе смысл.
Большинство естествоиспытателей не считает нужным тратить время на чтение работ метафизиков. Разве тот факт, что ни один профессиональный философ не в состоянии написать книгу по философии, которую ученый захочет прочитать, не говорит сам за себя? Разве не следовало бы появиться здесь метаметафизику, который выступил бы с утешительным призывом больше не беспокоиться о нашей философии (большинство из нас уже давно повинуется такому призыву), поскольку мы можем продолжать наше дело без оной? Книга на эту тему показала бы, как много там описано из того, что на самом деле не несет в себе никакого смысла, и она имела бы то преимущество, что афортиори ни у кого нет необходимости ее прочесть».
Что ж, возможно. В любом случае философы, без сомнения, не станут себя ценить меньше в будущем, чем они ценили себя в прошлом.
Дебаты закончились вничью. Подводя итоги, Дингл заявил, что «критерий отличия смысла от бессмыслицы в значительной степени утерян: наш разум готов принять любое утверждение, каким бы нелепым оно ни было, если только оно исходит от человека, пользующегося известностью, и сопровождается множеством математических символов по типу Кларендонской ассизы… если подобный настрой существует среди людей науки, то каково будет настроение публики, наученной измерять ценность идеи в показателях ее непонятности?..». И, словно Кассандра XX века, разочарованный астрофизик в тот момент почти предсказал результат: «Времена царят не настолько благоприятные, чтобы мы могли безмятежно почивать в атмосфере умствования, в которой самыми живучими оказываются не те идеи, которые стоят в наиболее рациональном отношении к опыту, но те, которые могут рядиться в самые броские наряды псевдоглубины. Есть достаточно свидетельств на континенте [Европы] эффекта доктрин, полученных «рационально, без обращения к опыту». Мне кажется, возникла настоятельная потребность очистить воздух».
Это предвидение датировано июнем 1937 года. Это может быть только совпадением, но ветер очищения, который в 1937 году казался настолько необходимым, чтобы развеять глупость, задул в полную силу с континента в сентябре 1939 года. Конечно, нельзя доказать, что отказ от опыта и последовательное возвращение к доктринам, полученным без обращения к опыту, имели какое-нибудь значение в мире практических дел и грубого опыта. Те, кто настаивают, что вся наука, кроме той, что служит в механическом цеху и арсенале, имеет чисто академический интерес и не представляет никакой ценности для человечества, могут быть правы. Но, если прошлое существенно, это кажется маловероятным.
Ветер нарастал, но воздух не очищался. Вслушиваясь в приближающийся шторм, Пифагор вспоминал Кротон и Сибарис. Он был подавлен. Мечта, которую он пронес через чистилище, казалось, вот-вот навсегда унесется назад в прошлое.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.