Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней - [116]

В «Век разума и просвещения» были гиганты. Среди «Главных вопросов», затронутых и, по общему мнению, решенных в «Введении», приведем здесь два: «Возможна ли вообще метафизика?» и «Возможна ли чистая математика?». Ответ Канта на первый вопрос, как и следовало ожидать: «Да». Экстремальный позитивист-логик XX века утверждает, что правильный ответ: «Нет».

Вопрос Канта о чистой математике не потерял актуальности. Полностью неправильное понимание природы математики достаточно наглядно отражено в его ложном предположении, которое он высоко ценил, что геометрия состоит из «синтетических суждений априори». Достаточно описать, что он имел в виду, и указать, почему математики знают (а это вопрос знания, а не мнения), что высказывание ошибочно. Предположительно, Кант был введен в заблуждение различием (не безусловно признанным на момент написания им «Критики», но теперь общеизвестным фактом) между геометрией как абстрактной дедуктивной системой и геометрией как частично эмпирической наукой, используемой для изучения физической вселенной. Сходное заблуждение Канта касалось арифметики и, что правда, то правда, всех других направлений математики. Как Эйнштейн сформулировал различие между прикладной и чистой математикой: «В той части, где теоремы математики касаются реальности, они не верны, в той части, где они верны, они не о реальности».

Мы не хотим дискредитировать Канта за то, что он просмотрел фундаментальное отличие. За исключением похороненной геометрии Саккери, о существовании которой Кант просто не знал, хотя ее отдали в набор за сорок восемь лет до того, как опубликовали «Критику», математики едва ли к тому времени предоставили философам достаточно материалов, на базе которых можно было бы сформировать разумное мнение. И мы видели, как сами математики медленно приходили к пониманию важности неевклидовой геометрии Лобачевского, опубликованной четверть века спустя после смерти Канта. Только в конце XIX века профессиональные математики начали серьезно интересоваться сущностью математики, а затем начали понимать то, что их предшественники от Фалеса до Пуанкаре (жившего в 1854–1912 годах) реально совершили.

Было бы справедливо послушать самого Канта, прежде чем переходить к опровержениям. Достаточно и нескольких выдержек. Он начал с объяснения: «Я вспоминаю все доклады, где нет ни слова объяснения восприятию понятия «чистая». Чистая форма всех чувственных интуиций, та форма, в которой просматриваются несколько элементов этого феномена, выстроенных в определенном порядке, априори должна быть найдена в разуме. И эта чистая форма чувственности может быть названа чистой интуицией». После ряда дальнейших толкований определений Кант декларирует: «В ходе данного исследования станет ясно, что существуют две чистые формы чувственной интуиции как принципов априорного знания, Пространство и Время. Что такое, – спрашивает он дальше, – Пространство и Время? Они реальны? А если нет, они формы или отношения вещей, но такие, какие присущи им, даже если они перестанут восприниматься? Или они есть формы или отношения, присущие исключительно форме интуиции и, следовательно, субъективной реальности нашего разума, без которых такие понятия, как пространство и время, никогда не получится отнести к чему-либо?»

Прежде чем услышать ответы Канта на данные вопросы, обратимся за двумя разъяснениями к словарю. «Кант… считал, что априорное знание состоит из конкретных «допущений» (как пространство и время) и принципов понимания, которые предположительно необходимы, чтобы опыт в целом стал интеллигибельным (постижимым умом)». Это устанавливает постоянно циркулирующую a priori, к которой обращается Кант. Другое техническое слово «аподиктический», которое означает «вовлекающий или выражающий неопровержимую истину, абсолютно верную, а также способную быть продемонстрированной ясно и удобно». Считая, что эти смысловые определения ясны (хотя едва ли такие четкие, как те, что приняты в элементарной геометрии, к которой адресует их Кант), постараемся понять, что же он хотел сказать. Ниже мы приводим изложенные Кантом выводы в четырех обобщенных предположениях, из которых нам необходимо взять только основное.

1. «Пространство не есть эмпирическое понятие, которое появляется из опыта… Образно пространство не может быть взято через опыт из отношений внешнего феномена, но, напротив, внешний феномен становится возможным только через представление о пространстве».

2. «Пространство есть априорное необходимое представление, фомирующее каждое обоснование всех внешних интуиций… Пространство, таким образом… есть условие возможности феномена, а не… форма созданного ими. Это априорное представление, которое необходимо предвосхищает внешний феномен».

Поскольку следующий текст достаточно сложен и ложен в деталях в свете современного знания, то приведем его полностью.

3. «По этой необходимости априорного представления пространство противостоит аподиктической несомненности всех геометрических принципов и возможности их априорного создания. Если интуиция пространства стала концепцией, полученной апостериори (a posteriori), только из общего внешнего опыта, первые принципы математических дефиниций становятся не чем иным, как перцепциями. Они будут распространены на все издержки перцепций, и, например, существование только одной прямой линии между двумя точками станет не необходимостью, а только чем-то полученным из опыта в каждом конкретном случае. Что бы ни было получено из опыта, оно будет обладать только соответствующей обобщенностью, основанной на умозаключении. Таким образом, мы не сможем сказать больше, поскольку до настоящего времени никакое пространство еще не найдено, кроме трехмерного».