Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [24]

по значениям переменной В или значение переменной В по значениям переменной А, результаты получаются разными. Если, например, спросить, каков средний рост мужчин, весящих 90 кг, то ответ — около 180 см. Но если спросить, каков средний вес мужчин ростом 180 см, окажется, что он не достигает ни 90, ни даже 85 кг. И в этом, возможно, нет ничего особенно удивительного, потому что очень низкорослый человек вполне может весить за сотню килограммов, что уменьшает средний рост. Но иногда результаты могут быть весьма неочевидными. Например, если мы пытаемся предсказать, к какому году численность населения Земли достигнет десяти миллиардов человек, то две рассматриваемые переменные — это численность населения и время. Допустим, по всем имеющимся данным выходит, что наиболее вероятная дата, по достижении которой нас станет десять миллиардов, — 2050 год (оценка значения времени по значению численности населения). Но если попытаться узнать, какова будет численность населения Земли в 2050 году (то есть оценить численность по значению времени), то самый точный ответ, который можно получить на том же наборе данных, — 9,3 миллиарда. Причем эти несовпадающие ответы даже не противоречат друг другу.

Вознаграждение и наказание

Психологи часто изучают воздействие наград и наказаний. Некоторые исследования показывают, что эффективность работников обычно падает после получения награды и возрастает после наказания. Из этого многие делают вывод, что наказание производит позитивное воздействие, а вознаграждение — негативное. Однако такой вывод ошибочен, потому что он не учитывает регрессии к среднему, которая действует независимо от конкретной природы вознаграждения и наказания. Она является следствием способа, которым мы изучаем и анализируем данные. Если помнить об этом, правильный вывод может оказаться диаметрально противоположным.

Людей обычно вознаграждают, когда они работают лучше обычного, а наказывают, когда качество их работы снижается. Регрессия к среднему говорит нам, что без какого-либо вознаграждения или наказания за необычайно хорошей работой обычно следует более слабая, а после на редкость плохой работы ее качество с большой вероятностью повышается. Без учета регрессии к среднему нельзя делать выводы о воздействии наград и наказаний.

Нужно сравнивать степень улучшения и ухудшения без каких-либо внешних воздействий (наград или наказаний) с тем, что получается при их применении. Если ухудшение, следующее за необычайно хорошей работой, в среднем оказывается больше в отсутствие вознаграждения, чем при его наличии, значит, награда оказывает положительное воздействие. С другой стороны, даже если наказание в целом улучшает работу, оно все равно может мешать повышению ее качества, так как без него среднее улучшение могло быть еще более значительным.

Если бы мы не знали о регрессии к среднему, мы могли бы ошибочно решить, что вознаграждения вредны, а наказания полезны, потому что все данные исследований говорят именно об этом. На самом же деле картина гораздо сложнее. В некоторых ситуациях вознаграждение может приносить пользу, а в других — вред. То же верно и в отношении наказания. Суммарный эффект вознаграждения или наказания определяется не только ситуацией, но и личными качествами человека, о котором идет речь. Бывают даже такие люди, на которых эти меры не оказывают почти или вовсе никакого действия, — люди, которые по праву могут сказать о себе словами из стихотворения «Непокоренный» (Invictus) Уильяма Эрнеста Хенли:

И, как врата ни узки дней,

Как наказанья ни ужасны, —

Я — капитан души своей,

Своей судьбы хозяин властный[42][43].

Разнообразие и стабильность

Почему же, несмотря на эти осложнения, регрессия к среднему не делает всю популяцию однородной или по меньшей мере все более и более усредненной? Казалось бы, она должна производить такой эффект, но факты говорят об ином.

Длина табачных листьев, которые изучал Гальтон, на протяжении многих поколений соответствовала одному и тому же неизменному распределению. Более того, это распределение с высокой точностью совпадало с тем, которое всего за несколько десятилетий до исследований Гальтона описал Гаусс. Гальтон обнаружил, что если некая характеристика популяции распределена нормально, то из этого следует, чисто математически, что явление регрессии к среднему уравновешивается тем фактом, что среди потомства особей, превышающих средний уровень, встречаются особи выдающиеся. Как разнообразие, так и стабильность популяции сохраняются даже при наличии регрессии к среднему, потому что этого требуют математические характеристики распределения Гаусса.

Впоследствии математики выяснили, что связь между разнообразием и устойчивостью, которую обнаружил Гальтон, возникает только при приблизительно гауссовом распределении популяции[44]. Следовательно, нормальное распределение можно считать источником стабильности: именно оно позволяет популяции оставаться в целом неизменной от поколения к поколению, несмотря на регрессию к среднему.

Разумеется, некоторые изменения популяции со временем все же происходят. Например, в прошлом веке человечество стало существенно выше ростом. Это отчасти вызвано развитием медицины, а отчасти — резким сокращением неполноценного питания. Тем не менее уже ясно, что в последние несколько десятилетий это увеличение остановилось, по меньшей мере в развитых странах. Рост будущих поколений, вероятно, будет приблизительно таким же, как рост нашего поколения — как по среднему значению, так и по стандартному отклонению. Установился новый стабильный ростовой режим. Распределение Гаусса сдвинулось, но осталось самим собой.