Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [15]

Любая математическая система, которая 1) основана на конечном числе аксиом (утверждений, принимаемых без доказательства), 2) построена строго формальным образом, 3) содержит аксиому, предполагающую существование бесконечной последовательности натуральных чисел (причем ноль считается натуральным числом, и за каждым натуральным числом идет следующее), и 4) не содержит противоречий (в том смысле, что в рамках этой системы невозможно доказать как некоторое утверждение, так и утверждение, обратное ему), заведомо содержит такие утверждения, которые можно точно сформулировать в рамках этой системы, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема Гёделя о неполноте чрезвычайно сильно потрясла математиков и логиков. В течение двух с половиной тысяч лет — с самого момента появления математики в современном смысле этого слова — математики твердо верили, что любое математическое утверждение, которое можно ясно и точно сформулировать, рано или поздно можно будет доказать либо опровергнуть, используя формальные методы математической дедукции. Нужно только быть достаточно умным — и доказательство найдется. Но Гёдель разбил эту мечту вдребезги. Он показал, что существуют такие математические утверждения, которые никто, как бы умен он ни был, никогда не сможет ни доказать, ни опровергнуть.

Четыре условия, которые я описал выше, нельзя назвать ни чрезмерно строгими, ни излишне заумными. Им соответствует бо́льшая часть той математики, которую мы используем повседневно. Таким образом, теорема Гёделя утверждает, что во всех математических системах, кроме самых простейших, непременно должны возникать задачи чисто математические, но не разрешимые методами самих этих систем. Отсюда и название «теорема о неполноте»[27].

Гёделевские дивертисменты

Было бы соблазнительно углубиться еще дальше в удивительные следствия из теоремы Гёделя. Я попытаюсь устоять перед этим искушением, чтобы не отклоняться слишком далеко от темы этой книги. По счастью, у нас есть «Гёдель, Эшер, Бах» Дугласа Р. Хофштадтера — книга, которая сама по себе является небольшим чудом. Даже ее издатели не предполагали, что им удастся продать целые миллионы экземпляров этой длинной и сложной книги, посвященной математическим вопросам. Таким образом, можно сказать, что книга «Гёдель, Эшер, Бах», в которой представлены многочисленные далеко идущие следствия из теоремы Гёделя и гёделевского мышления, была настоящим «черным лебедем». Одной из причин ее успеха было то, что Хофштадтеру удалось пересказать теорему Гёделя простым языком, не используя сложных математических формулировок, но сохранив абсолютную математическую точность. Однако для этого ему потребовалось приблизительно столько же страниц, сколько во всей моей книге.

Я не буду даже пытаться состязаться с этим великолепным достижением. Вместо этого позвольте мне представить несколько гёделевских дивертисментов, чтобы проиллюстрировать охват следствий из теоремы Гёделя и показать, почему она изменила наше мышление столь фундаментальным образом. Я надеюсь, что эти наброски позволят понять, почему открытие Гёделя, кажущееся столь эзотерическим, смогло лечь в основу трех моих предыдущих книг, в которых ничего эзотерического не было, и почему его можно использовать снова, чтобы пролить свет на происхождение чудес.

В некой деревне существует закон, согласно которому человек, назначенный деревенским брадобреем, должен брить всякого, кто не бреется сам, и не имеет права брить никого из тех, кто бреется самостоятельно. Кто же тогда бреет брадобрея? Заметим прежде всего, что брадобрей не может брить самого себя, так как ему запрещено брить тех, кто бреется сам. Но если он не бреет самого себя, то он все-таки должен брить самого себя, потому что он обязан брить всех тех, кто не бреется самостоятельно. Поэтому наша задача приобретает гёделевский оттенок: она сводится к логическому парадоксу, не имеющему решения.

Разумеется, мы легко можем заключить, что жители деревни приняли глупый закон, искусственно сформулированный так, чтобы создать парадокс. Однако эта аналогия иллюстрирует самую суть теоремы Гёделя: в любой формальной системе законов существуют противоречия. С этой точки зрения не важно, глуп тот или иной закон или продуман до мелочей. Что бы он ни утверждал, всегда можно измыслить такую ситуацию, в которой этот закон должен действовать, но не действует. А если такую ситуацию можно вообразить, то рано или поздно окажется, что в чьих-нибудь интересах создать ее, чтобы избежать последствий применения этого закона. Именно поэтому мы то и дело встречаем лазейки, позволяющие обойти закон, и существование таких лазеек неизбежно: добавление новых правил, закрывающих эти лазейки, приводит только к образованию новых.

В недалеком прошлом, когда Венгрией правил коммунистический режим, некоторые книги были запрещены властями. Продажа или распространение таких книг и даже обладание ими или их чтение были нарушением закона. Время от времени, охваченный любопытством, я пытался найти названия запрещенных книг. Мне это так и не удалось, потому что перечень запрещенных книг также был запрещенной книгой