Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - [14]

Мир Диконии — это не мир чудес. Скорее это такое место, в котором время от времени возникают огромные отклонения от среднего, соответствующие длинному и толстому «хвосту» распределения Коши. Некоторые из этих отклонений бывают такими гигантскими, настолько выходящими за рамки того, что может объяснить наш здравый смысл, что мы склонны считать их чудесами. Однако, хотя мы и признаем, что Дикония изобилует явлениями редкими и удивительными, в соответствии с нашим определением они не являются чудесами: они не уникальны и не неповторимы. Такие события могут быть очень редкими, так как нашей Фиби лишь изредка случается стрелять почти параллельно стене и попадать в точки чрезвычайно удаленные от ее середины, но мы тем не менее знаем, что рано или поздно, причем в течение некоторого обозримого времени, винтовка Фиби снова окажется развернута в направлении, близком к параллельному. В конце концов она будет нацелена даже еще ближе к параллельному направлению, и точка попадания окажется еще дальше. В мире Диконии очень трудно, даже невозможно сказать, является ли некое невообразимо странное событие истинным чудом или же попросту результатом выстрела нашей Фиби, которая по случаю оказалась развернута почти параллельно стене. Чтобы выявить фундаментальную разницу между этими двумя случаями, нам придется глубже исследовать природу Диконии, и к этой теме мы вернемся в части III.

Истинные чудеса значительно отличаются от ситуаций, в которых стрелок случайно стреляет в направлении, почти параллельном стене, и, таким образом, попадает в невообразимо далекую точку. Истинное чудо — это событие принципиально иное, нечто уникальное и неповторимое. Такие события происходят не только в Диконии, но и в Тихонии, потому что порождены не действием обычных законов природы, а чем-то радикально иным: они не противоречат законам природы, но и не являются следствием из них. Мы рассмотрим и такие истинные чудеса. В конце следующей главы я определю четыре типа чудес. Но сначала нам понадобится еще одна фундаментальная концепция.

3. Источник чудес: идея Гёделя

Если вы — самый умный из присутствующих, значит, вы находитесь не там, где нужно.

В этой книге я пишу об идеях Курта Гёделя уже в четвертый раз. Каждый раз я писал о них по разным причинам. Хотя математическое содержание теоремы Гёделя не изменилось, следствия из нее настолько глубоки, что я снова и снова возвращаюсь к ней.

В книге «Способы мышления» (Ways of Thinking) я использовал теорему Гёделя, чтобы показать, что у того, чего можно достичь чисто рациональным мышлением, неизбежно существуют некоторые пределы, и для выхода за эти пределы необходима некая особая уловка. Этой уловкой оказалась человеческая интуиция. В книге «Этические расчеты» (Moral Calculations) я писал о концепции сотрудничества. Это, на вид такое простое, понятие оказалось на удивление трудно — на самом деле невозможно — определить. Как ни определяй поведение, основанное на принципах сотрудничества, всегда можно применить методику, разработанную Гёделем, и сконструировать такую коллективную игру, в которой все игроки неизбежно проигрывают, если неуклонно придерживаются сотрудничества в соответствии с этим определением, а различные стратегии, не предполагающие сотрудничества, позволяют всем выиграть. Таким образом, бесспорного, всеобщего и окончательного решения задачи о сотрудничестве быть не может. В книге «Эволюция денег» (The Evolution of Money) я доказывал, что методика Гёделя не только дает возможность вывода его радикально новаторской теоремы в области логики, но может быть использована и для описания корневого механизма дарвиновской эволюции, который, в свою очередь, можно применить к эволюции биологической, к эволюции идей (мемов) и к эволюции экономической (денег и капитала). Следовательно, Гёдель открыл нечто гораздо большее, нежели изящный и действенный математический метод; его открытие оказывается природным механизмом, лежащим в основе самых разных явлений.

Теперь же идея Гёделя покажет нам, почему помимо редких явлений дикого мира, подчиняющегося закону Коши, могут существовать и другие типы чудес. А когда мы дойдем до IV части книги, гёделевская точка зрения также поможет нам понять, почему мы говорим об одних типах поведения и отношений и не говорим о других, а также подготовить нас к чудесам, которые встретятся нам в будущем.

Теорема Гёделя

В 1931 году Курт Гёдель опубликовал в немецком журнале Monatshefte für Mathematik und Physik статью «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем I» (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I). Теорема VI этой статьи, прославившаяся впоследствии под названием первой теоремы Гёделя о неполноте, была сформулирована следующим образом:

Для каждого ω-непротиворечивого рекурсивного класса формул k существует такая рекурсивная классовая формула, что ни ∀ (ν, r), ни ¬∀ (v, r) не принадлежат к Flg (k), где ν — свободная переменная r[26].

Гёдель исходно сформулировал это утверждение по-немецки, но я могу вас заверить, что для немецкоязычного читателя-неспециалиста оно было ничуть не более понятным, чем для нас в переводе. В переложении на обычный язык теорема утверждает приблизительно следующее: