Лекции о Спинозе. 1978 – 1981 - [58]

Еще один шаг. Когда я имею алгебраическое отношение типа x, деленное на y, на сей раз у меня нет заданных термов, у меня есть две переменные. У меня есть переменные. Вы видите, что все происходит так, как если бы отношение приобрело степень независимости, высшую по отношению к его термам. У меня больше нет необходимости назначать какое-либо детерминированное значение. В дробном отношении я не могу избегнуть следующего: я должен назначать детерминированное значение термам отношения. В алгебраическом же отношении у меня даже нет больше необходимости назначать детерминированное значение термам отношения. Термы отношения суть переменные. Но тем не менее еще необходимо, чтобы мои переменные имели детерминируемое значение. Иными словами, x и y могут иметь всевозможные разновидности сингулярных значений, но они должны иметь хотя бы одно. Вы видите: в дробном отношении я могу иметь лишь одно сингулярное значение либо же эквивалентные сингулярные значения. В алгебраическом отношении у меня больше нет необходимости в каком-либо сингулярном значении; это не препятствует тому, что мои термы по-прежнему имеют специфицируемое значение, и это отношение действительно не зависит от любого конкретного значения переменной, но зависит от детерминируемого значения переменной.

Дифференциальное отношение

Вот что совсем ново в дифференциальном отношении: мы устраиваем его, делая третий шаг. Когда я говорю dy / dx, вы помните то, что мы видели: dy по отношению к y равно нулю: это бесконечно малая величина. dx по отношению к x равно нулю: стало быть, я могу записать это – и в XVII веке постоянно так и пишут – в такой форме: dy / dx = 0 / 0. Но ведь отношение 0 / 0 не равно нулю. Иными словами, когда исчезают термы, отношение остается. На этот раз термы, между которыми устанавливается отношение, не являются ни детерминированными, ни даже детерминируемыми. Единственно детерминируемым является отношение между его термами. Именно здесь логика делает скачок, и скачок основополагающий. В этой форме дифференциального исчисления открыта область, где отношения уже не зависят от их термов: термы сводятся к исчезающим величинам, а отношение между этими исчезающими величинами не равно 0. Так что я записал бы – здесь я передаю все очень приблизительно: dy / dx = z. Что означает “= z “? Это, разумеется, означает, что дифференциальное отношение dy / dx, которое складывается между исчезающей величиной x и исчезающей величиной y, строго говоря, ничего не сообщает нам об x и y, но кое-что сообщает нам о z. Например, примененное к окружности, дифференциальное отношение dy / dx кое-что говорит нам о касательной, называемой «геометрическая касательная».

Оставаясь на самом простом уровне, нет необходимости ничего понимать; я могу, стало быть, записать dy / dx = z. Что это означает? Смотрите, что отношение – в том виде, в каком оно существует, – когда его термы исчезают, отсылает к некоему третьему терму z. Это интересно: это должно быть очень интересно: именно исходя отсюда возможна некая логика отношений. Что вот это значит? О z мы скажем, что это предел дифференциального отношения. Иными словами, дифференциальное отношение стремится к некоему пределу. Когда исчезают термы отношения, x и y становятся dy и dx; когда термы отношения исчезают, остается отношение, потому что оно стремится к пределу z. Когда устанавливается отношение между бесконечно малыми термами, это не отменяет в то же время того, что оно стремится к некоему пределу. Такова основа дифференциального исчисления в том виде, как его понимали или интерпретировали в XVII веке.

Отношения движения и покоя

Отныне вы понимаете, почему эта интерпретация дифференциального исчисления образует единое целое с пониманием некоего актуального бесконечного, то есть с идеей бесконечно малых величин исчезающих термов. Отныне я даю свой ответ на вопрос: ну что же в самом деле Спиноза говорит нам, говоря об отношениях движения и покоя, о пропорциях движения и покоя, заявляя: бесконечно малые, бесконечная совокупность бесконечно малых принадлежит к такому-то индивиду при таком-то отношении движения и покоя; что есть это отношение? Я не смог бы заявить, подобно Геру, что это некая вибрация, уподобляющая индивида маятнику; это дифференциальное отношение. Это дифференциальное отношение в том виде, как оно выявляется в бесконечных множествах, бесконечно малых.

И действительно, если вы возьмете письмо Спинозы о крови, которое оказало мне неоценимую помощь, и две составные части крови – хилус и лимфу, то что оно, в сущности, говорит нам? Оно сводится к тому, что существуют корпускулы хилуса, или же, скорее, что хилус есть бесконечное множество простейших тел. Лимфа – это другое бесконечное множество простейших тел. Что же отличает два бесконечных множества? Здесь именно что дифференциальное отношение. На сей раз вы видите dy / dx, которое таково: бесконечно малые части хилуса, деленные на бесконечно малые части лимфы, и это дифференциальное отношение стремится к некоему пределу: а именно, хилус и лимфа образуют кровь. Если бы дело обстояло так, мы могли бы спросить, почему бесконечные множества различаются? Это происходит потому, что бесконечные множества простейших тел не существуют независимо от осуществляемых ими дифференциальных отношений. Стало быть, это происходит через абстрагирование, с которого я начал говорить о них. Но они неизбежно существуют при том или ином переменном отношении. Они не могут существовать независимо от какого-либо отношения, потому что само понятие бесконечно малого терма, или исчезающе малой величины, не может определяться независимо от некоего дифференциального отношения. Опять-таки