Лекции о Лейбнице. 1980, 1986/87 - [28]
Я ввел простейший пример с кривой: дугу окружности. А вот нечто посложнее: показанное мною состоит в том, что сингулярная точка не обязательно привязана к экстремуму или ограничена им, она вполне может находиться в середине, и в данном случае находится в середине. И это будет то минимум, то максимум, то оба сразу. Отсюда важность исчисления, которое Лейбниц продвинет очень далеко и которое он назовет исчислением максимумов и минимумов; и даже сегодня это исчисление имеет колоссальное значение, например в феноменах симметрии, в физических и оптических явлениях. Итак, я бы сказал, что моя точка A есть сингулярная точка; все остальные точки обычные, или регулярные. Они бывают обычными, или регулярными, двумя способами: дело в том, что они располагаются ниже максимума и выше минимума, и, наконец, у каждой существует двойник. Итак, мы немного уточняем это понятие обычного.
А вот другой случай; вот сингулярность другого случая: возьмите сложную кривую. Что мы назовем ее сингулярностями? Сингулярности сложной кривой – это в простейшем случае соседние точки, а вы знаете, что понятие соседства в математике, которое весьма отличается от понятия смежности, есть ключевое понятие для всей области топологии, и как раз понятие сингулярности способно объяснить нам, что такое соседство, – итак, по соседству с некоей сингулярностью нечто изменяется: кривая возрастает или убывает. Эти точки роста или убывания я и назову сингулярностями. Обычное – это ряд, это то, что находится между двумя сингулярностями; речь идет о соседстве той сингулярности, которая располагается рядом с другой сингулярностью: вот что называется обычным, или регулярным.
Вы видите, что эти отношения очень странны (словно свадьбы): разве так называемая классическая философия в каком-то относительном смысле не связала свою судьбу с классическими геометрией, арифметикой и алгеброй, то есть с прямолинейными фигурами, а те – с ней? Вы мне скажете, что прямолинейные фигуры уже включают сингулярные точки, – согласен, но стоит мне обнаружить и построить математическое отношение сингулярности, как я могу сказать, что в простейших прямолинейных фигурах его не было. Никогда простейшие прямолинейные фигуры не давали мне серьезного повода и реальной необходимости вводить понятие сингулярности. Это навязывает себя лишь на уровне сложных кривых. Стоит мне найти нечто подобное на уровне сложных кривых, тогда да, я отступаю, и я могу сказать: ага, это уже было в дуге окружности, это уже было в такой простой фигуре, как прямолинейный квадрат, но прежде – вы не сможете.
Реплика из зала: [Нрзб.]
Делёз [хрипит]: …Как жаль… о господи… из-за него у меня сел голос. Знаете ли, голос – хрупкая штука. Жаль… ах, жаль… я позволю себе говорить час, когда захочу, но не теперь… жаль… о-ля-ля… что за дрянь!
Я прочту вам небольшой текст Пуанкаре, который много занимался теорией сингулярностей, развивавшейся на протяжении всего XVIII и XIX веков. Существует две разновидности работ Пуанкаре: логико-философские и математические. Сам же он был прежде всего математиком. Существует статья Пуанкаре о дифференциальных уравнениях. Я прочту тот кусочек, где говорится о разновидностях сингулярных точек на кривой, отсылающих к дифференциальной функции или к дифференциальному уравнению. В этой статье он говорит нам, что существует четыре типа сингулярных точек: во-первых, седла. Это точки, через которые проходят две, и только две, кривые, определяемые уравнением. Здесь дифференциальное уравнение таково, что через точку можно провести две, и только две, кривые. Это первый тип сингулярности. Вот второй тип сингулярности: узлы, где пересекается бесконечное множество кривых, определяемых уравнением. Третий тип сингулярности: очаги, вокруг которых эти кривые изгибаются, приближаясь к ним на манер спирали. Наконец, четвертый тип сингулярности: центры, вокруг которых кривые предстают в форме замкнутого цикла. И Пуанкаре, продолжая статью, объясняет, что одна из его больших математических заслуг состоит в том, что он развил теорию сингулярностей в соотношении с теорией дифференциальных функций, или дифференциальных уравнений.
Почему я цитирую этот пример из Пуанкаре? Вы найдете соответствующие понятия у Лейбница. Там вырисовывается весьма любопытный пейзаж – с седлами, очагами, центрами. Это напоминает своего рода астрологию математической географии. Вы видите, что мы пришли от простейшего к более сложному: на уровне простого квадрата, прямолинейной фигуры, сингулярности были экстремумами; на уровне простой кривой перед вами были сингулярности, еще очень простые для определения; принцип их определения был прост, сингулярность была единственным случаем, у которого не было близнеца, или же это был случай, с каким отождествлялись максимум и минимум. Здесь, когда вы переходите к более сложным кривым, перед вами более сложные сингулярности. Стало быть, область сингулярностей, строго говоря, бесконечна. Какова будет ее формула? Пока вам приходится иметь дело с так называемыми прямолинейными проблемами, то есть действовать там, где речь идет об определении прямых или прямолинейных плоскостей, вам не нужно дифференциальное исчисление. У вас возникает потребность в дифференциальном исчислении, как только перед вами встает задача определения кривых и криволинейных плоскостей. Это означает – что? В чем сингулярность связана с дифференциальным исчислением? В том, что сингулярная точка – это точка, по соседству с которой дифференциальное отношение
