Квадратура круга - [3]

Квадратура круга и потребности практики

Остается рассмотреть еще вопрос: нужно ли точное решение квадратуры круга для фактических расчетов? Оказывается, надобности в точном решении этой задачи никогда практически не возникает. Достаточно располагать таким решением, которое давало бы приближенный результат с желаемой степенью точности; а этого можно достичь, пользуясь даже частью известных уже цифр в выражении π.

Какую точность можно получить этим путем, видно из слов знаменитого французского астронома прошлого века Франсуа Араго. В своей «Общепонятной астрономии» (1849) он писал:

«Посмотрим, с какою точностью возможно, пользуясь цифрами π, вычислить длину окружности, радиус которой равен среднему расстоянию Земли от Солнца (150 000 000 км).

«Если для π взять 18 цифр, то ошибка на одну единицу в последней цифре вовлечет за собой в длине вычисляемой окружности погрешность в 0,0003 миллиметра; это гораздо меньше толщины волоса.[2]

«Мы взяли 18 цифр π. Легко представить себе, какую невообразимо малую погрешность сделали бы, при огромности вычисляемой окружности, если бы воспользовались для π всеми известными его цифрами.

«Из сказанного ясно, как заблуждаются те, которые думают, будто науки изменили бы свой вид, и их применения много выиграли бы от нахождения точного π, если бы оно существовало».

Итак, даже для астрономии, — науки, прибегающей к наиболее точным вычислениям, — не требуется вполне точного решения квадратуры круга.

Десять задач

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять π=3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта; он указан, наряду с другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространен также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в «папирусе Ринда») находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет

диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчета в %%, принимая π=3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) прием вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами равными

диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?

4. Валлис нашел (1656 г.) для вычисления π следующий ряд

и т. д.

Лейбниц вывел (1674) такое равенство:

Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?

5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для π следующее приближенное выражение:

Как помощью этого выражения приближенно решить задачу о квадратуре круга?

6. Проверьте следующее приближенное равенство:

Как воспользоваться этим соотношением для приближенной квадратуры круга?

7. Проверьте приближенное равенство

Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?

8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в

и

диаметра круга, приближенно равен длине окружности этого круга.

Как помощью этого соотношения приближенно решить задачу о квадратуре круга?

9. Голландский инженер Петр Меций нашел (в 1585 г.) для π легко запоминаемое выражение

. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.

10. Придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.

Ответы и указания

1. Если радиус круга R, то площадь его πR², а длина окружности 2πR, Квадрат, площадь которого старинное правило принимает равной площади круга, имеет сторону длиною

. Площадь такого квадрата равна

Отношение

показывает, что старинное правило дает преуменьшение почти на 22 %.

2. Из отношения

легко установить, что изложенное в задаче правило дает преувеличение примерно на 0,6 %.

3. Правило дает преуменьшение примерно на 2½%.

4. Оба выражения не решают задачи о квадратуре круга, потому что они не могут быть найдены помощью конечного числа математических операций.

5. Построив (рис. 6) прямоугольный треугольник с катетами в 1 и 3 единицы длины, получаем гипотенузу длиною в

, т. е.

тех же единиц. Этот отрезок приближенно выражает длину окружности, диаметр которой равен взятой единице длины. Зная это, можно построить прямоугольник, приближенно равновеликий кругу; таким прямоугольником будет, например, прямоугольник со сторонами в 1 и

единиц длины.

Построенный прямоугольник легко превратить в равновеликий квадрат. (См. рис. 3 и относящийся к нему текст).

6. Сумма

. Зная, что при радиусе, равном единице длины,

есть сторона вписанного квадрата (рис. 4), a

— сторона вписанного равностороннего треугольника (рис. 5), легко построить отрезок, приближенно равный длине полуокружности. Дальнейший ход построения читатель найдет сам, руководствуясь указаниями, данными выше.

7. Сумма

. Для построения отрезка в

единиц длины, надо уметь построить отрезок равный

единиц длины. Построение может быть выполнено, как нахождение средне-пропорционального между отрезками в 1 и 1,8 ед. длины (рис. 7). Далее — см. решения предыдущих задач.