Когда приходит ответ - [46]

3

В летний, ничем не примечательный день 1847 года школьный математик Джордж Буль, что из города Линкольна, ехал вместе со своим приятелем толстяком Чарльзом на пароходике по тихой реке Восточной Англии с единственной целью приятно и безмятежно провести денек. Облокотившись на поручни, любовался он мягкими незатейливыми красотами проплывающих берегов. И энергичное лицо его с высоким открытым лбом, с резко очерченным крупным носом принимало почти восторженное выражение. Он был чувствительной натурой.

Все, кто с чистым намерением

Стремится познать природу.

…Все проникаются друг к другу глубоким сочувствием,—

писал он в своих не очень складных стихах, сменяя вдруг холодную строгость математических занятий на возвышенный пыл домашней поэзии.

Они сошли на маленькой пристани, направились по тропинке, выбирая, где поглуше. Джордж Буль, как более высокий, шел размашистым шагом чуть впереди, а его друг толстяк-коротышка семенил следом. В общем, двое добропорядочных джентльменов, совершающих то, что называется «to take the air» — подышать воздухом.

На ходу перекидывались короткими фразами. Но чем дальше, тем молчаливее становился Буль. Взгляд его уже рассеянно скользил по зеленому лабиринту. Наконец он выбрал себе тень под высоким кустарником и сказал, что хотел бы здесь посидеть, пока спутник еще погуляет. Толстый Чарльз понял: Джордж хочет побыть один. И не в правилах английского джентльмена докучать ближнему.

Оставшись наедине, Буль впал в ленивое оцепенение. Неизвестно, заметил ли даже, как бесцеремонная пичужка, усевшись на ветке над самой головой, усердно и пространно лопотала ему что-то на своем птичьем языке.

Вдруг, словно очнувшись, он извлек из кармана сюртука записную книжку в мягкой коже и стал быстро усеивать ее страницы буквами и значками, будто воспылал намерением записать этот птичий язык.

А это и был особый язык, на котором пробовал сейчас писать Джордж Буль. И если бы посторонний заглянул в тот момент к нему в книжку, она наверняка показалась бы ему сплошной сеткой иероглифов — зашифрованные письмена. Так что лучше уж сразу сказать, что подразумевал Джордж Буль под своими буковками и значками.

Он писал крупно единицу, потом буквы x, y, z, вычитал их из единицы, потом писал знакомое из логики: «Все у суть x» или «Все x суть y»… А подразумевал под этим вот что.

Пусть символ единицы означает весь мир или всякий мыслимый класс предметов, которые действительно существуют. x, y, z… — члены разных классов или понятий. Скажем, x — класс людей, y — класс смертных.

Тогда предложение «Все люди смертны» можно выразить, как x = y.

Он писал символ 1 — x, имея в виду отрицание: класс не-икс, как говорят в логике. Ну, скажем, класс смертных и класс бессмертных. Вместе они образуют весь мир. Но весь мир, как уже условлено, есть единица. Стало быть, класс бессмертных, в противоположность всем смертным, можно обозначить 1 — x. Это неудобное обозначение будет потом заменено. Просто черточка или апостроф над буквой укажут отрицание: не-икс (x¹), не-игрек (y¹)…

Он соединял два каких-нибудь понятия в новое, третье, с помощью обычных для нашей речи связок «и», «или» и убеждался, что эту операцию тоже можно выразить символически. Класс вещей всех твердых (x) и вместе с тем всех стеклянных (у) можно обозначить x — y (умножение!). А класс вещей, принадлежащих к твердым или стеклянным, как x + y (сложение!).

Сложение, умножение. Не правда ли, совсем запахло математикой, алгеброй! Но дальше — больше.

Если мы имеем класс вещей всех твердых и всех стеклянных, то можно сказать и в обратном порядке: класс вещей всех стеклянных и всех твердых. Смысл не меняется! И Буль выводил правило: значит, в логике xy = yx. Позвольте, а ведь это известный алгебраический закон коммутативности.

То же и с понятиями, которые связаны словечком «или» — логическое сложение, как он назвал. Здесь также можно переставлять. Сумма-то не меняется. «Или стеклянный, или твердый» — все равно что «или твердый, или стеклянный». Опять тот же закон, как и в алгебре.

Об этом он задумывался не в первый раз — об отношениях в алгебре и отношениях в логике. Чутье подсказывало ему, что между ними есть что-то общее. И то, что созревало в уме, запросилось сегодня на бумагу как раз во время, казалось бы, самой безмятежной прогулки. Он торопился записать основной прием, который пришел ему в голову. Первые наброски… Может быть, за ними удастся нащупать какую-то систему. Перевод языка логики на язык алгебры.

Сидя в тени кустарника, Буль и пытался выстроить на страницах записной книжки эту своеобразную азбуку. Вначале было как будто просто. Все аналогии между алгеброй и логикой проступали с наглядной очевидностью. Но дальше усмотреть эту непосредственную связь становилось все труднее. Смысл уже прятался за разными операциями над буквами, обозначающими понятия — классы. Как разобраться в том, что класс всех богатых складывается с классом всех пронырливых и оба они помножаются еще на класс всех жадных? Можно ли так с этим обращаться?

И Буль доказывал сейчас; да, можно. Можно понятия заключать в скобки, а общие понятия, как общие множители в алгебре, выносить за скобки.