Как не ошибаться. Сила математического мышления - [16]
Бесконечно малые приращения и ненужные затруднения
Критики Ньютона в чем-то были правы: его толкование производной далеко от того, что в наши дни принято называть строгой математикой. Проблема заключается в концепции бесконечно малой величины, которая на протяжении тысяч лет была для математиков камнем преткновения. Трудности начались с древнегреческого философа V столетия до нашей эры Зенона, представителя Элейской школы, который часто задавал по поводу физического мира на первый взгляд невинные вопросы, неизменно перераставшие в серьезные философские дискуссии.
Представляю вам самый знаменитый парадокс Зенона в вольном переложении. Я решаю сходить в магазин за мороженым. Конечно, я не смогу преодолеть весь путь до магазина, пока не пройду половину этого пути. А как только я пройду половину пути, я все равно не смогу добраться до магазина, пока не преодолею половину оставшегося пути. Когда я сделаю это, мне все равно предстоит преодолеть половину оставшегося расстояния – и так далее. Я могу подходить к магазину все ближе и ближе, но, сколько бы этапов этого процесса я ни прошел, на самом деле мне так и не удастся добраться до магазина. У меня всегда будет оставаться пусть крохотное, но все же ненулевое расстояние до моих двух шариков мороженого. Эта аргументация применима к любому другому пункту назначения: в равной мере невозможно перейти улицу, или сделать один-единственный шаг, или взмахнуть рукой. Любое движение исключено.
Говорят, что киник Диоген опроверг доводы Зенона довольно простым методом: он встал и прошел из одного конца комнаты в другой. Это весьма хороший довод в пользу того, что движение все же возможно, а значит, что-то не так с доводами Зенона[43]. Но где же была ошибка?
Разбейте путь в магазин на фрагменты, представленные в числовой форме. Сначала вы проходите половину пути. Затем преодолеваете половину оставшегося пути, то есть 1/4 общего расстояния, и у вас остается еще 1/4 пути. Далее половина оставшегося расстояния составляет 1/8, затем 1/16, затем 1/32. Таким образом, ваше перемещение к магазину можно представить в следующем виде:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …
Сложив десять первых членов этой последовательности, вы получите 0,999. Сумма первых двадцати членов последовательности составит 0,999999. Другими словами, вы действительно приближаетесь – очень-очень приближаетесь – к магазину. Тем не менее, сколько бы членов этой последовательности вы ни сложили, вы никогда не получите 1.
Парадокс Зенона во многом напоминает другую головоломку: равна ли периодическая десятичная дробь 0,99999… единице?
Я видел, как люди едва не вступали в драку из-за этого вопроса[44]. По этому поводу ведутся жаркие споры на самых разных веб-сайтах, от страниц фанатов игры World of Warcraft («Вселенная Варкрафта») до форумов, посвященных творчеству Айн Рэнд. Наша естественная реакция на аргументы Зенона такова: «В конечном счете вы непременно получите свое мороженое». Но в данном случае интуиция подсказывает совсем иной ответ. Большинство людей{24} (если потребовать от них однозначного ответа) скажут, что 0,9999… не равно 1. Это число даже не похоже на единицу, это уж точно. Оно меньше единицы. Однако ненамного меньше! Подобно любителю мороженого в парадоксе Зенона, оно все ближе и ближе подходит к своей цели, но похоже на то, что так и не доберется до нее.
И все-таки преподаватели математики, в том числе и я сам, скажут им: «Нет, это число равно 1».
Как мне привлечь хоть кого-нибудь на свою сторону? Один хороший способ – привести следующие доводы. Все знают, что:
0,33333… = 1/3.
Умножьте обе стороны на 3 – и получите такой результат:
0,99999… = 3/3 = 1.
Если это вас не убедило, попытайтесь умножить 0,99999… на 10, для чего нужно просто перенести десятичную запятую на одну позицию вправо.
10 × (0,99999…) = 9,99999…
Теперь надо вычесть раздражающее десятичное число из обеих сторон равенства:
10 × (0,99999…) − 1 × (0,99999…) = 9,99999… − 0,99999…
Левая сторона равенства представляет собой просто 9 × (0,99999…), поскольку 10 умножить на что-то минус что-то равно 9 умножить на вышеупомянутую величину. А в правой части равенства нам удалось удалить ужасное бесконечное десятичное число, после чего у нас осталось просто 9. В итоге мы получим:
9 × (0,99999…) = 9.
Если 9 умножить на что бы то ни было равно 9, тогда это что-то должно быть равно 1, не так ли?
Как правило, чтобы убедить людей, подобных доводов вполне довольно. Но будем честны: в этой аргументации кое-чего не хватает. В действительности приведенные выше доводы не устраняют тревожную неопределенность, вызванную заявлением, что 0,99999… = 1; напротив, они представляют собой своего рода алгебраическое устрашение: «Вы верите в то, что 1/3 равно 0,3 в периоде, не так ли? Ведь вы действительно верите в это?»
Или еще хуже: скорее всего, вас убедили мои доводы, в основе которых лежало умножение на 10. Но как насчет следующего довода? Чему равно:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?
Здесь троеточие означает, что мы продолжаем вычислять сумму бесконечно, каждый раз прибавляя величину, которая в два раза больше предыдущей. Очевидно, что эта сумма должна быть бесконечной! Однако довод, во многом напоминающий на первый взгляд корректный аргумент в отношении 0,99999…, как будто говорит об обратном. Умножьте представленную выше сумму на 2 – и получите:
День 4 ноября 1922 года стал одним из величайших в истории мировой археологии. Именно тогда знаменитый египтолог Говард Картер и лорд Карнарвон, финансировавший раскопки, обнаружили гробницу фараона Тутанхамона, наполненную бесценными сокровищами Однако для членов экспедиции этот день стал началом кошмара. Люди, когда-либо спускавшиеся в усыпальницу, погибали один за другим. Газеты принялись публиковать невероятные материалы о древнем египетском демоне, мстящем археологам за осквернение гробницы…В своей увлекательной книге известные исследователи исторических аномалий Коллинз и Огилви-Геральд подробно изложили хронологию открытия гробницы Тутанхамона и связанных с этим загадочных событий Основываясь на письмах и статьях знаменитых археологов, а также воспоминаниях очевидцев, авторы задаются сенсационным вопросом: не могли ли Говард Картер и лорд Карнарвон обнаружить в гробнице Тутанхамона некую взрывоопасную тайну, способную в случае огласки перевернуть сложившиеся взгляды на библейскую и мировую историю? И не могла ли эта тайна стать для первооткрывателей усыпальницы реальным проклятием — осуществляемым не мстительными богами Египта, а наемными убийцами на службе влиятельных политических сил, которым могла помешать неудобная правда?
Земная цивилизация достигла критического порога, и потеря людьми интереса к космосу лишь вершина айсберга. Первые космические программы имели ясную цель, объявленную Циолковским: расселение человечества по Солнечной системе. Сейчас цель потеряна как для развития космонавтики, так и для человечества в целом. Оно должно сдать экзамен на разумность и обеспечить себе переход на новую ступень развития.(«Техника-молодежи», № 8/2004)
Азию мы называем Азией, а Антарктиду – Антарктидой. Вот Фарерские острова, но нам лучше на Канарские. Слова, известные со школы, звучат, будто музыка: Гренландия и Исландия, Миссури и Ориноко, Босфор и Дарданеллы. С чем и с кем связано то или иное географическое название – кто так назвал, когда и почему? Знать бы! И удивлять других: «Кстати, о Миссисипи…»Эта книга раскрывает многие историко-географические тайны. Рассказы о происхождении названий географических объектов часто оказываются посильнее детективных романов.
Настоящее пособие знакомит учителей физической культуры с нормами санитарно-гигиенического режима, мерами пожарной безопасности на уроках физкультуры. В нем представлены нормативные акты, формы документов, извлечения из методических указаний, правил и инструкций по охране труда, регламентирующие безопасность проведения физкультурно-оздоровительной, учебной и внеклассной работы в образовательных учреждениях; показан порядок и правила проведения инструктажей по мерам безопасности.Пособие предназначено для студентов, преподавателей, учителей физической культуры и школьников.
Эта книга о наших детях, о происшествиях и явлениях, связанных с ними и выходящих за рамки традиционного мировосприятия.Вас, уважаемый читатель, ждут встречи с героями невероятных историй, удивительными людьми, участниками и очевидцами феноменальных событий, необъяснимых с точки зрения логики и «приземленного» мышления.Также вы получите возможность побывать в гостях у известной духовной целительницы Зины Ивановны, побеседовать с ней, вместе проанализировать почерпнутую информацию. Эта необычная женщина будет комментировать те удивительные истории, которые рассказаны на этих страницах.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.