История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [55]
Если множество действительных чисел непрерывно, Дедекинд задался вопросом, в чем разница между рациональным и иррациональным числами. Лейбниц, например, считал, что «сплошность» точек на линии связана с их плотностью, то есть для любых двух точек всегда есть некая третья, расположенная между ними. Однако рациональные числа также имеют это свойство, но тем не менее они не непрерывны. Вместо того чтобы продолжать искать способы склеивать точки, чтобы сформировать континуум, Дедекинд встал на противоположную точку зрения и стремился определить непрерывность в терминах определения разрывов в линейном сегменте. Представьте себе числовую ось как бесконечно длинную твердую трубу, набитую упорядоченными рациональными числами. Разрыв разрежет трубу на две части, обозначим их А и В. Образуются два торца трубы, конечные точки А и В. Глядя на открытый торец, мы можем прочитать число. Если на торце не видно никакого числа, то мы сделали разрез на иррациональном числе. Дедекинд определил иррациональные числа в терминах этих множеств А и В, а не в виде последовательности. Таким образом, свойства непрерывности или пределов могли быть формализованы в терминах арифметики, а не в виде остаточных геометрических понятий. Бертран Рассел позже отметил, что каждое из множеств А и В определено через другое и поэтому логически необходимо только одно из них, так что иррациональное число можно определять только в терминах множества А (или В).
Возвращаясь к вопросу о бесконечности, Дедекинд увидел в парадоксах Больцано не аномалию, а определение. Он понял, что множество бесконечно, если оно подобно точному подмножеству самого себя, то есть если может быть установлено некое соответствие между подмножеством и множеством. Например, множество {2,4,6...} — подмножество {1,2,3…}, и между ними можно определить прямое соответствие. Спустя два года после выхода книги Дедекинда, в 1874 году, Георг Кантор женился, и в поездку на медовый месяц он повез жену в Интерлакен, где они встретились с Дедекиндом. В том же году Кантор издал одну из своих самых революционных статей. Он согласился с определением бесконечного множества Дедекинда, но при этом считал, что не все бесконечности равны между собой.
Кантор начал с того факта, что любое множество, для которого может быть установлено некоторое соответствие с рядом натуральных чисел, является исчисляемым. Это очевидно для конечных множеств, но Кантор расширил понятие исчисляемости до бесконечных множеств. Множество всех натуральных чисел — само по себе «счетная бесконечность», и любое бесконечное множество, для которого можно установить некое взаимно однозначное соответствие этому множеству, — также счетная бесконечность. Например, хотя кажется, что целые числа уходят в бесконечность как в положительном, так и в отрицательном направлении, они также являются счетной бесконечностью, поскольку их можно переупорядочить следующим образом: {0, +1, -1, +2, -2…}. Кроме того, так же как в конечных множествах существует величина, известная как количество элементов (по существу, размер множества), так и бесконечным множествам Кантор определил значение степени множества. Два бесконечных множества имеют одну и ту же степень, если можно определить между ними взаимно однозначное соответствие. Выше мы видели, что рациональные числа образуют плотное множество. Целые числа этого не делают, то есть не всегда есть третье целое число, расположенное между любыми двумя другими целыми числами, — например, нет никакого целого числа между 1 и 2. Поэтому казалось вероятным, что множество рациональных чисел будет иметь более высокую степень, чем множество целых чисел. Однако в 1873 году Кантор нашел, что это не так. При помощи хитроумного расположения рациональных чисел он нашел метод, при помощи которого они могли быть поставлены во взаимно однозначное соответствие со множеством натуральных чисел.
Этот результат заставлял думать, что все бесконечные множества чисел на самом деле имеют одинаковую степень. Кантор показал, что это ложное утверждение, при помощи своего знаменитого аргумента диагонализации. Он предположил, что действительные числа между 0 и 1 исчисляемы и могут быть записаны по порядку и выражены как бесконечные десятичные числа: например, 0,2 может быть записано как 0,199 999… Затем он записал число, которое отличалось от первого в первом десятичном знакоместе, отличалось от второго во втором десятичном месте, и так далее. Это новое число отличалось от любого исходного числа, совокупность которых считалась завершенной, и поэтому реальные числа не были исчисляемыми. Множество реальных чисел имеет более высокую степень, чем множество рациональных. Далее Кантор показал, что даже алгебраические числа, которые представляют собой намного более общий класс, чем рациональные, имеют ту же самую степень, что и натуральные числа. Становилось все более очевидно, что континуум реальных чисел «уплотняется» за счет трансцендентных чисел. В определенном смысле
