История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [53]

В результате анализа гравитационного взаимодействия между Землей и Луной астрономам стало очевидно, что из-за размеров этих двух тел и большого расстояния между ними их больше нельзя было считать точечными массами: теперь необходимо было рассмотреть влияние всего тела планеты. Если рассматривать все из некоей точки на Земле, гравитационное влияние Луны связано и с ее объемом или массой, и с ее формой. Эти взаимосвязи между силами внутри тела и на его поверхности были математически решены как отношения между объемным интегралом и поверхностным интегралом. Эти отношения были описаны в 1828 году в теореме Грина, названной в честь Джорджа Грина, который изучал математику в Кембридже. Эта теорема, которую Грин разработал для электромагнитных потенциалов, могла также использоваться и для гравитационных потенциалов.

В 1873 году Максвелл издал свой «Трактат об электричестве и магнетизме», в котором, вслед за Фарадеем, он описал такие ключевые понятия, как электрическое и магнитное поля. Максвелл попытался избежать того, чтобы его теории стали дополнительным аргументом в спорах о существовании эфира и истинной природы пространства, использовав, по существу, принцип нисходящего анализа (от сложных элементов к простым). Его теория избегает опоры на микроскопические идеи вроде заряда или тока, тогда еще не вполне понятные, а скорее применяет макроскопический подход, допуская существование полей, которые взаимодействуют друг с другом и со средой, через которую происходит это взаимодействие. Для Максвелла пространство было упругим континуумом, благодаря чему оно могло передавать движение из точки в точку. Из-за этой эластичности сама среда могла сохранять кинетическую и потенциальную энергии. Он многократно использовал теорию потенциалов и дифференциальную геометрию, поначалу записав свои уравнения в гамильтоновской кватернионной нотации, а затем в декартовском эквиваленте. Лишь Оливер Хевисайд перевел уравнения Максвелла в векторную форму, в которой они используются и по сей день.

Успех сопутствовал теории и представлениям Максвелла не с первых дней. Дж. Дж. Томпсон обвинял Максвелла в «мистике» за его теории полей. Эти обвинения довольно сильно напоминали реакцию, которую получил Ньютон в ответ на его теорию всемирного тяготения. В этот период в описании природы пространства царил полный хаос, и многие физики приспособили уравнения Максвелла для того, чтобы подтвердить свои собственные теории. В 1861 году Максвелл вычислил, что скорость электромагнитных волн очень близка к скорости света, что вдохновило его сделать свет частью электромагнитного спектра. В 1888 году Генрих Герц экспериментально доказал теорию Максвелла путем демонстрации существования электромагнитных волн. В то же самое время эксперименты Альберта Майкельсона и Эдварда Морли показали, что если эфир и существовал, то на него не влияло никакое движение как планет, так и пучка света. Старые аргументы о действии на расстоянии исчезли перед лицом экспериментальных доказательств. Но в основном переосмысление общего понятия пространства и времени произошло в 1905 году в результате работы Альберта Эйнштейна.

Впервые уравнения Максвелла с успехом были использованы в телеграфии и радиокоммуникациях. Хевисайд преобразовал его уравнения для телеграфии, где принял во внимание самоиндуктивность в линиях передач, которая была пропущена другими исследователями. Это привело к внедрению индуктивных катушек, чтобы повышать уровень сигнала, идущего по кабелям, в особенности по трансатлантическому кабелю. В 1902 году Гульельмо Маркони сумел успешно передать радиосигналы через Атлантику. Это подарило математическим физикам проблему точного моделирования того, как именно электромагнитные волны движутся в атмосфере Земли, особенно когда приемник находится вне поля зрения передатчика. С тех пор телекоммуникационная промышленность больше никогда не оглядывалась назад.

19. Заманчивая бесконечность

Математики и философы всегда боролись с понятием бесконечности. Греки боялись бесконечности и ее противоположности — бесконечно малых величин. Их страх время от времени всплывал на поверхность, особенно это заметно в определениях дифференциального и интегрального исчислений. Наконец в девятнадцатом веке проблема встала в полный рост. Результаты работы многих умов преобразовались во множество различных направлений математики, но сражение с бесконечностью и получившаяся в результате теория множеств была работой одного человека — Георга Кантора. Стимулом к этому стали все увеличивающееся использование бесконечных рядов и сомнения в их обоснованности.

Коши отобразил фундаментальные понятия дифференциального и интегрального исчислений в терминах арифметики, а не геометрии (это называлось арифметизацией исчисления). В отличие от древнегреческой традиции, в которой геометрии предоставлялось почетное место самого точного научного метода, девятнадцатый век поставил своей целью преобразовать математический анализ в арифметические образы. Это в значительной степени достигалось путем все увеличивающегося использования функций многочисленных переменных и функций комплексных переменных, визуальное представление которых часто было невозможно.