История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [35]

Я, Галилео Галилей, сын покойного Винченцо Галилея из Флоренции, 70 лет, самолично поставленный перед судом, преклонив колена перед их эминенциями, досточтимыми кардиналами генерал-инквизиторами против еретической злобы во всем христианском мире, имея пред глазами Святое Евангелие, коего касаюсь собственными руками, клянусь, что всегда веровал, ныне верую и с помощью Божьею впредь веровать буду во все, что Святая Католическая и Апостольская Римская церковь за истинное приемлет, что проповедует и чему учит. Но так как я — после того, как мне от сего судилища сообщено было повеление, чтобы совсем оставил ложное мнение, будто Солнце есть центр мира и недвижно, Земля же не центр и движется, и чтобы не смел держаться того ложного мнения, не защищал его, не преподавал каким-либо способом или писанием и после того, как мне указано было, что учение это противно Священному Писанию, — написал и напечатал книгу, в которой излагаю это осужденное уже учение и привожу с настойчивостью аргументы в его пользу, не давая опровержения оных, то посему подвергся суду, как сильно заподозренный в ереси, а именно, что держусь мнения и верю, будто Солнце центр мира и недвижно, Земля же движется. Желая изъять из умов ваших эминенций и всякого христианина католика сие сильное возникшее против меня подозрение, я с чистым сердцем и верою неложною отрекаюсь от упомянутых заблуждений и ересей, проклинаю их и отвращаюсь от них и вообще от всяких заблуждений и сект, противных сказанной Святой Церкви. Клянусь, что в будущем ни устно, ни письменно не выскажу чего-либо, способного возбудить против меня подобное подозрение. И если узнаю какого-либо еретика или внушающего подозрение в ереси, не премину донести о нем сему священному судилищу или инквизитору или ординарию того места, где буду находиться. Клянусь, кроме того, и обещаю все эпитимии, наложенные на меня, или кои будут наложены, с точностью исполнять и соблюдать. А если, сохрани Боже, совершу что-либо противное сим моим обещаниям, протестациям и клятвам, то подлежу всем наказаниям и казням, кои Священными Канонами и другими общими и частными постановлениями установлены и обнародованы против такого, рода нарушителей. Да поможет мне Бог и Святое Его Евангелие, коего касаюсь руками.

В удостоверение того, что я, Галилео Галилей, как выше приведено, отрекся, поклялся, обещал и обязал себя, я собственноручно подписал сей акт и от слова до слова прочел его в Риме в монастыре Минервы сего 22-го июня 1633 года.

Публичное отречение Галилея от гелиоцентрической теории[16]

13. Математика в движении

Мы уже упоминали, что Ньютон и Кеплер моделировали орбиты планет исключительно геометрически. Однако в космическом пространстве не существует реальных эллипсов, они — лишь невидимые пути, по которым движутся планеты. Поэтому, чтобы больше не строить орбиты геометрически, по точкам, было бы очень полезно найти математический инструмент для описания движения планет. Те, кто пытался перейти от последовательности прямолинейных движений к действительно плавному пути, снова столкнулись с проблемой бесконечности и бесконечно малых величин.

Прежде чем обратиться к изобретению дифференциального и интегрального исчислений, стоит вспомнить более ранние попытки решить общие задачи с площадями и тангенсами. Это «до-дифференциальное и до-интегральное счисление» можно найти уже у Архимеда, разработавшего два метода определения площадей, ограниченных кривыми линиями. Их нередко называли геометрическим и механическим методами. Одна из самых известных задач, доставшихся нам от древних, — вычисление площади круга, так называемой квадратуры круга. В коротком трактате «Об измерении круга» Архимед приводит доказательства двух важных результатов. Во-первых, площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно окружности круга, а высота — радиусу круга, что эквивалентно нашей формуле πr², но без необходимости вводить собственно число π. Второй важный результат — доказательство, что числовое значение π находится между 3 1/7 и 3 10/71. В обоих случаях использовался геометрический метод: строились описанные и вписанные в круг многоугольники; затем, последовательным удвоением числа сторон каждого многоугольника они постепенно приближались к окружности. Помимо всего прочего, эти два многоугольника постепенно сближаются, в некотором смысле получается бутерброд из многоугольников с окружностью, прослоенной между ними, так что, если процесс продолжить до бесконечности (то, что математики называют «в пределе»), площади многоугольников постепенно сближаются с площадью круга. Чтобы найти значение π, Архимед начал с описанного и вписанного шестиугольников и закончил процесс, когда достиг 96-стороннего многоугольника, хотя мог бы продолжать до тех пор, пока бы не достиг любого задуманного уровня точности. Архимед использовал метод последовательных элиминаций, за который мы должны благодарить Евдокса (см. Главу 4), но старался не заявлять, что многоугольники постепенно становятся кругом, приходя к результату посредством длинной логической аргументации. Это умалчивание понятно, поскольку, с точки зрения греков, многоугольник и круг были совершенно разными фигурами.