История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных - [14]

В «Девять глав» также входят задачи, представляющие собой системы линейных уравнений с более чем одним неизвестным. Лю Хуэй заявляет в своем комментарии, что общий метод трудно объяснить без обращения к конкретному примеру. В этом методе коэффициенты системы уравнений представлены счетными палочками, разложенными в виде матрицы. Затем с числами производятся определенные манипуляции, чтобы устранить некоторые из коэффициентов, оставляя явные числовые решения. Это очень похоже на современный метод, известный как Гауссово исключение (по имени математика Карла Фридриха Гаусса), но китайцы не развили идею до вычисления детерминанта матрицы, так что, возможно, более корректно расценивать конфигурацию счетных палочек не как матрицу, а как таблицу.

Есть также важная работа по неопределенным уравнениям, где существует несколько возможных ответов — иногда бесконечное их множество. В книге представлены два типа задач: первая — задача на остаток, вторая известна как «задача о сотне домашних птиц». Задача о сотне домашних птиц в самом разном виде встречается в самых разных уголках средневекового мира — в европейских, арабских и индийских текстах. В «Десяти канонах» сказано, что петушки стоят 5 цянь, курицы — 3 цянь, а 3 цыпленка — 1 цянь. Если 100 птиц куплены за 100 цянь, сколько каких птиц было куплено? Приводятся три решения. Одно из них — 4 петушка, 18 куриц и 78 цыплят. (Есть решение с отсутствующим элементом, когда можно купить 25 куриц и 75 цыплят, но ни одного петушка.) Эти ответы правильные, но объяснение, похоже, неверное.

При описании задачи на остаток приводится и результат, и общий метод, но снова без объяснения. В этой задаче, согласно описанию в «Девяти главах», приобретается неизвестное число предметов. Если посчитать их по три, остается две штуки, если посчитать их по пять штук, остается три, а если считать их по семь штук, остается два. Цель состоит в том, чтобы найти число купленных предметов. Решение скорее методологическое, чем объяснительное. В целом для решения задачи требуется найти наибольший общий сомножитель для чисел 3, 5 и 7. Странно, но в следующий раз эта же задача упоминается только в тринадцатом веке в работе Цинь Цзюшао.

Цинь Цзюшао родился в городе Аньюэ (ныне в провинции Сычуань). Его отец занимал множество различных административных постов, включая должность заместителя директора Дворцовой библиотеки. Цинь Цзюшао изучал астрономию в столице, Ханьчжоу, но в 1234 году вступил в армию, чтобы противостоять монгольским захватчикам. Это были десять тяжелых лет. В 1244 году он вернулся и стал «придворным чиновником с широкими полномочиями» (это высокий титул) в префектуре Цзянькан (ныне Нанкин), однако в том же году Цинь Цзюшао удалился от службы на три года, чтобы оплакать смерть матери. Вероятно, именно в этот период он составил свой труд «Шу шу цзю чжан» («Девять книг по математике»), структура которого напоминает «Десять канонов», но несколько сложнее.

В «Шу шу цзю чжан» описываются методы решения задач индивидуального сравнения и ряда одновременных сравнений, как в случае задачи на остаток. Сравнения, возможно, лучше известны в форме модульной арифметики (арифметические операции над абсолютными значениями чисел). Решения соответствуют тому, что теперь известно как китайская теорема остатка. Цинь Цзюшао утверждает, что он научился этому методу у составителей календарей, работавших в Императорском Астрономическом бюро в Ханьчжоу, но там использовали правило, не понимая его. Это правило было выведено для того, чтобы решить проблему сопоставления различных циклов вроде лунного месяца, солнечного года и искусственного шестидесятеричного цикла. Фактически даже Гаусс, который вновь открыл метод пять столетий спустя, использовал для примера задачи с календарными циклами. Неясно, где Цинь Цзюшао на самом деле узнал это правило. Подлинное новаторство первоклассного математика заключается в выходе за пределы традиции комментариев. Он применил давнюю китайскую вычислительную традицию для решения реальных проблем.

6. Математические сутры

Древнейшие свидетельства о наличии математики в Азии мы видим в следах цивилизации Хараппы, существовавшей в долине Инда; они датируются концом четвертого — началом третьего тысячелетия до нашей эры. Хотя самые ранние документы довольно трудно расшифровать, понятно, что это торговые счета, с весами и размерами, с особой ссылкой на передовую технологию производства кирпичей. Приблизительно в 1500-х годах до нашей эры культура Хараппы была уничтожена захватчиками с севера. Их называли ариями. Они были пастухами, говорили на индоевропейском языке, предшественнике санскрита и многих современных языков. Первая письменная кодификация языка была сделана великим филологом Панини в четвертом веке до нашей эры. Он в одиночку сумел сделать санскрит понятным языком, кодировавшим мысли целого субконтинента в течение более чем двух тысяч лет. Если можно сказать, что греческая математика проистекает из философии, то корни индийской математики уходят в лингвистику.

Самая ранняя ведическая литература прежде всего носит религиозный и церемониальный характер. Наиболее ценны с точки зрения математики — приложения к главным «Ведам», известные как «Веданги». Они записаны в виде сутр — коротких поэтических афоризмов, столь типичных для санскритских текстов, которые стремятся передать содержание в наиболее сжатой и запоминающейся форме. «Веданги» разделены на шесть областей: фонетика, грамматика, этимология, поэзия, астрономия и ритуалы. Последние два предмета дают нам возможность оценить уровень развития математики того времени. Раздел «Веданг», посвященный астрономии, называют «Джьотиша-сутра», в то время как раздел, посвященный ритуалам, носит название «Кальпа-сутра». Одна из его частей, посвященная строительству жертвенных алтарей, называется «Шульба-сутра».