Истина и красота: Всемирная история симметрии - [50]

Потребовалось некоторое время, чтобы красота и значение результатов Галуа пробили себе дорогу к широкому математическому сознанию. На самом деле их едва не потеряли. Спас их Жозеф Лиувилль, сын капитана Наполеоновской армии, ставший профессором в Коллеж де Франс. Лиувилль выступал перед французской Академией — собранием, которое затеряло или отвергло три мемуара Галуа — летом 1843 года.

«Я надеюсь заинтересовать Академию, — начал он, — рассказом о том, что среди бумаг Эвариста Галуа я обнаружил решение, точность которого не уступает его глубине, такой замечательной задачи: узнать, существует или не существует решение в радикалах…»

Если бы Лиувилль не взял на себя долгий труд разбираться в бумагах неудачливого революционера, нередко неаккуратных и путаных рукописях, и не потратил бы значительное время и немалые усилия на угадывание того, что хотел сказать автор, эти рукописи, скорее всего, исчезли бы вместе с мусором, а теории групп пришлось бы ждать, пока те же идеи откроют заново. Так что математика в большом долгу перед Лиувиллем.

Понимание предложенных Галуа методов росло, рождалась новая мощная математическая концепция — концепция группы. Целая ветвь математики — исчисление симметрий, называемое теорией групп — появилась на свет и с тех пор проникла в каждый уголок математики.

Галуа работал с группами перестановок. Перестановка — это способ переупорядочить список объектов. В его случае объектами были корни алгебраического уравнения. Простейший из содержательных примеров дается кубическим уравнением общего вида, у которого имеются три корня a, b и с. Напомним, что есть шесть способов переставить эти символы и что — следуя Лагранжу и Руффини — можно перемножать любые две перестановки, выполняя их последовательно. Мы видели, например, что cba×bca = acb. Действуя подобным же образом, можно построить «таблицу умножения» для шести перестановок. Чтобы было яснее видно, что происходит, припишем каждой перестановке имя, например, положим I = abc, R = acb, Q = bac, V = bca, U = cab и P = cba. Тогда таблица умножения будет выглядеть следующим образом.

	I	U	V	P	Q	R
I	I	U	V	P	Q	R
U	U	V	I	R	P	Q
V	V	I	U	Q	R	P
P	P	Q	R	I	U	V
Q	Q	R	P	V	I	U
R	R	P	Q	U	V	I

Элемент этой таблицы, стоящий в строке X и столбце Y, представляет собой произведение XY, получаемое по правилу «сначала Y, потом X».

Галуа понял, что некое очень простое и очевидное свойство этой таблицы оказывается исключительно важным. Произведение любых двух перестановок само является перестановкой; во всей таблице содержатся только символы I, U, V, P, Q, R. Некоторые меньшие наборы, состоящие из перестановок, обладают тем же «групповым свойством» — произведение любых двух перестановок из набора также представляет собой перестановку из этого набора. Галуа назвал такой набор перестановок группой.

Например, набор [I, U, V] дает меньшую таблицу — таблицу умножения для подгруппы из трех перестановок.

	I	U	V
I	I	U	V
U	U	V	I
V	V	I	U

Здесь возникают только те же три символа. В такой ситуации, когда одна группа является частью другой, она называется подгруппой.

Другие подгруппы — а именно [I, P], [I, Q] и [I, R] — содержат только по две перестановки. Имеется также подгруппа [I], состоящая только из I. Можно доказать, что эти шесть подгрупп исчерпывают список подгрупп в группе всех перестановок на шести символах.

Итак, говорит нам (хотя и на несколько ином языке) Галуа, если взять некоторое кубическое уравнение, можно задаться вопросом о его симметриях — тех перестановках, которые сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Предположим, например, что между корнями a и b имеется алгебраическое соотношение a + b² = 5. Является ли перестановка R симметрией? Ну, если следовать данному выше определению, то R оставляет a на месте, но меняет местами b и c, так что должно быть выполнено еще и условие a + c² = 5. Если оно не выполняется, то R определенно не является симметрией. Если же выполняется, то надо проверить все остальные алгебраические соотношения между корнями, которые могут иметь место, и если R пройдет все эти проверки, то, значит, R — симметрия.

Нахождение того, какие именно перестановки являются симметриями данного уравнения, представляет собой технически сложное упражнение. Но есть что-то, в чем можно быть уверенным вообще без всяких вычислений: набор всех симметрий любого заданного уравнения должен быть подгруппой в группе всех перестановок корней.

Почему? Предположим, например, что и P, и R сохраняют все алгебраические соотношения между корнями. Если взять некоторое соотношение и применить R, то получится верное соотношение. Если далее применить P, то снова получится верное соотношение. Но применение R, а затем P — это то же самое, что применение PR. Следовательно, PR является симметрией. Другими словами, набор симметрий обладает групповым свойством.

Этот простой факт лежит в основе всего сделанного Галуа. Он говорит нам, что с любым алгебраическим уравнением связана некая группа — его группа симметрии; сейчас она называется группой Галуа в честь своего изобретателя. Причем группа Галуа любого уравнения всегда является подгруппой в группе всех перестановок его корней.