Истина и красота: Всемирная история симметрии - [17]
Основное соглашение, которое я предлагаю заключить, тенденциозно перекошено в пользу читателя: ключевым словом будет «показать». Я хочу, чтобы вы посмотрели на уравнения. Ничего делать с ними не требуется. По мере необходимости я буду разбирать уравнения на части и объяснять, какие их свойства существенны для нашего рассказа. Я никогда не буду просить вас решить уравнение или произвести с ним какие-либо вычисления. И я всерьез постараюсь избегать их появления — настолько, насколько это возможно.
На самом деле после знакомства с ними уравнения оказываются довольно дружелюбными созданиями — ясными, четкими, иногда даже прекрасными. Тайная истина об уравнениях состоит в том, что они представляют собой простой, ясный язык для описания целого ряда «рецептов» по вычислению разных вещей. Когда я буду в состоянии выразить такой рецепт словами или просто дать вам общее представление о том, что происходит, не вдаваясь в несущественные детали, я так и буду делать. В редких случаях, тем не менее, использование слов становится столь громоздким, что нам придется прибегнуть к символам и специальным обозначениям.
В этой книге имеются три важных типа обозначений, и два из них я упомяну прямо сейчас. Одно — это наш дружище x, то есть «неизвестное». Этот символ обозначает число, которое мы еще не знаем, но значение которого отчаянно пытаемся найти.
Обозначения второго типа — это числа, набранные более мелким шрифтом и слегка приподнятые над строкой — такие как >2, >3 или же >4. Они говорят, что некоторое другое число надо умножить само на себя указанное число раз. Так, 5>3 означает 5×5×5, что равно 125, а x>2 означает x×x, где x — наш символ для неизвестного числа. Читаются они как «квадрат», «куб», «четвертая степень» и так далее, а все вместе они называются степенями соответствующего числа.
Не имею ни малейшего понятия почему. Просто надо же их как-то называть.
Или вавилонский метод решения квадратных уравнений достался древним грекам по наследству, или же они его открыли заново. Герон, живший в Александрии где-то между 100 годом до и 100 годом от Р.Х., обсуждал типичные задачи «вавилонского» стиля, используя греческую терминологию. Около 100 года Никомах — вероятно, аравитянин из Иудеи — написал книгу под названием Introductio Arithmetica, в которой он отошел от греческой традиции представлять числа геометрическими величинами типа отрезков и площадей. Для Никомаха числа были самостоятельными величинами, а не длинами отрезков. Никомах был пифагорейцем, и это видно из его работы: он имеет дело только с целыми числами и их отношениями и не использует символьных обозначений. Его книга стала стандартным учебником по арифметике на последующее тысячелетие.
Символьные обозначения вошли в алгебру в работах греческого математика Диофанта примерно около 500 года[9]. Единственное, что мы знаем о Диофанте, — это возраст, в котором он умер, да и эти сведения дошли до нас способом, вызывающим сомнения в аутентичности. Греческий сборник задач по алгебре содержит одну следующего содержания: «Диофант провел шестую часть своей жизни мальчиком. Борода его стала расти спустя еще одну двенадцатую часть. Он женился одну седьмую спустя, а его сын родился через пять лет. Сын дожил до половины возраста своего отца, а отец умер через четыре года после сына. Сколько лет было Диофанту, когда он умер?»
Используя методы, подразумевавшиеся этим древним алгебраистом, или же способы более современные, можно вычислить, что ему должно было быть 84 года. Неплохой возраст, если, конечно, задача основана на реальных фактах, что, впрочем, не очевидно.
Это все, что мы знаем о его жизни. Но из позднейших списков и ссылок на них в других документах мы знаем довольно много о его книгах. Он написал одну книгу о многоугольных числах, и часть ее сохранилась. Она организована в эвклидовом стиле, теоремы доказываются на основе логических аргументов, и в целом математическое значение книги невелико. Намного важнее тринадцать книг написанной им Arithmetica. Шесть из них сохранились до наших дней благодаря сделанной в тринадцатом столетии греческой копии с более раннего экземпляра. Еще четыре могли всплыть благодаря рукописи, найденной в Иране, но не все исследователи сходятся в том, что она восходит к Диофанту.
Arithmetica представлена как ряд задач. В предисловии Диофант сообщает, что написал ее в качестве задачника для своих учеников. Он использовал специальный символ для неизвестного, а также отдельные символы для его квадрата и куба; кажется, что это сокращения слов dynamis (мощь, сила) и kybos (куб). Обозначения структурированы не очень хорошо. Сложение у Диофанта записывается просто как размещение символов друг за другом (мы теперь делаем так для умножения), но он использует специальный символ для вычитания. Есть и символ для равенства, хотя он и мог быть введен позднейшим переписчиком.
В основном Arithmetica посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами. Сегодня мы называем уравнение диофантовым, если его решения ограничены целыми или рациональными числами. Вот типичный пример из
Важно не только читать хорошие книги, но и писать таковые… Из-за нарушения этого правила волшебники Незримого университета вынуждены вновь спасать несчастную вселенную Круглого мира.XIX век, Англия. Некий человек по имени Чарльз Дарвин пишет книгу «Теология видов», которая не только становится бестселлером, но и тормозит научный прогресс более чем на век, что неизбежно вызовет новый ледниковый период в ближайшие столетия. Ну и как тут не вмешаться аркканцлеру Чудакулли и его коллегам?Третья книга научно-популярного цикла, созданного Терри Пратчеттом в соавторстве с Йеном Стюартом и Джеком Коэном, рассказывает читателю о теории эволюции и ее влиянии на развитие всего человечества.Впервые на русском языке!
Как математические модели объясняют космос? Иэн Стюарт, лауреат нескольких премий за популяризацию науки, представляет захватывающее руководство по механике космоса в пределах от нашей Солнечной системы и до всей Вселенной. Он описывает архитектуру пространства и времени, темную материю и темную энергию, рассказывает, как сформировались галактики и почему взрываются звезды, как все началось и чем все это может закончиться. Он обсуждает параллельные вселенные, проблему тонкой настройки космоса, которая позволяет жить в нем, какие формы может принимать внеземная жизнь и с какой вероятностью наша земная может быть сметена ударом астероида. «Математика космоса» — это волнующий и захватывающий математический квест на деталях внутреннего мира астрономии и космологии. Издание подготовлено в партнерстве с Фондом некоммерческих инициатив «Траектория».
В двух мирах – Плоском и Круглом – вновь переполох! Омниане узнали о Круглом мире и хотят его контролировать. Само его существование – это издевательство над их религией. Однако волшебники Незримого университета придерживаются совсем другой точки зрения. В конце концов, они создали этот мир!В четвертой книге цикла «Наука Плоского мира» Терри Пратчетт, профессор Йен Стюарт и доктор Джек Коэн создают мозгодробительную смесь литературы, ультрасовременной науки и философии в попытке ответить на ДЕЙСТВИТЕЛЬНО большие вопросы – на этот раз о Боге, Вселенной и, честно говоря, Обо Всем.Впервые на русском языке!
Добро пожаловать в XXIII век!В эпоху, когда человечество наконец-то «освоилось» в Солнечной системе.На юпитерианскую луну Каллисто, где космоархеологи нашли погребенное под многотысячелетними слоями льдов… устройство? Или все-таки СУЩЕСТВО?То, что привезли на Землю. То, что однажды… включилось? Или все-таки – ожило?И тогда гигантская комета, летевшая к Юпитеру, вдруг изменила свою траекторию – и понеслась к Земле…Что это – нелепое стечение обстоятельств? Неизвестный космический фактор? Или – непреложное доказательство существования на Юпитере разумной жизни?И теперь космический флот Земли отправляется к Юпитеру…
Закономерности простых чисел и теорема Ферма, гипотеза Пуанкаре и сферическая симметрия Кеплера, загадка числа π и орбитальный хаос в небесной механике. Многие из нас лишь краем уха слышали о таинственных и непостижимых загадках современной математики. Между тем, как ни парадоксально, фундаментальная цель этой науки — раскрывать внутреннюю простоту самых сложных вопросов. Английский математик и популяризатор науки, профессор Иэн Стюарт, помогает читателю преодолеть психологический барьер. Увлекательно и доступно он рассказывает о самых трудных задачах, над которыми бились и продолжают биться величайшие умы, об истоках таких проблем, о том, почему они так важны и какое место занимают в общем контексте математики и естественных наук.
Книга «Часы Дарвина» повествует о викторианском обществе, которого никогда не было — ну, однажды вмешались волшебники и его не стало..
«Наука не сводится к сумме фактов, как здание не сводится к груде камней». (Анри Пуанкаре) Автор теоремы, сводившей с ума в течение века математиков всего мира, рассказывает о своем понимании науки и искусства. Как выглядит мир, с точки зрения математики? Как разрешить все проблемы человечества посредством простых исчислений? В чем заключается суть небесной механики? Обо всем этом читайте в книге!
Мог ли Авраам отказаться принести в жертву Исаака, как Бог приказал ему сделать, и при этом избежать Божьего гнева за отказ? Что бы случилось, если бы Ева не сорвала яблоко с древа познания добра и зла? Что было бы, откажись Адам попробовать это яблоко? Автор исследует мотивы поведения тех или иных библейских персонажей, анализирует рациональность их действий и обсуждает мораль их поведения, а также возможные варианты исходов тех или иных библейских сюжетов в зависимости от того, как их герои поступили бы в той или иной ситуации.
Мы живем в мире гораздо более турбулентном, чем нам хотелось бы думать, но наука, которую мы применяем для анализа экономических, финансовых и статистических процессов или явлений, по большей части игнорирует важную хаотическую составляющую природы мироздания. Нам нужно привыкнуть к мысли, что чрезвычайно маловероятные события — тоже часть естественного порядка вещей. Выдающийся венгерский математик и психолог Ласло Мерё объясняет, как сосуществуют два мира, «дикий» и «тихий» (которые он называет Диконией и Тихонией), и показывает, что в них действуют разные законы.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.
Излагаются практически важные разделы аппарата современной математики, которые используются в инженерном деле: множества, матрицы, графы, логика, вероятности. Теоретический материал иллюстрируется примерами из различных отраслей техники. Предназначена для инженерно-технических работников и может быть полезна студентам ВУЗов соответствующих специальностей.