Исследование психологии процесса изобретения в области математики [заметки]

1

Центр синтеза (Centre de Synthèse) — французское философское общество, находится в Париже. — Прим. ред.

2

См. Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", "Nouveau Traité de Psychologie" G. Dumas, tome VI, p. 449.

3

См. Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", "Nouveau Traité de Psychologie" G. Dumas, tome VI, p. 447.

4

Я говорю об объективных и интроспективных методах. Психолог школы современного «бихевиоризма» различает объективную психологию и интроспективную психологию (последняя после смерти Уильяма Джеймса и Титченера объявлена отошедшей в прошлое), как будто речь идёт о двух разных науках, имеющих различные цели. Мне же кажется, что эти два различных метода наблюдения могут применяться и даже дополнять друг друга при изучении одних и тех же психологических процессов. Но, насколько я понимаю, бихевиористы сознательно оставляют в стороне объект интроспективных наблюдений, т. е. мышление и сознание.

Ещё раньше известный биолог Ле-Дантек отрицал сознание, считая его эпифеноменом. Я всегда считал это антинаучным актом, так как если бы сознание было эпифеноменом, то оно было бы единственным эпифеноменом, существующим в мире, где всё реагирует на всё. Но, называется ли оно эпифеноменом или нет, сознание существует и за ним можно наблюдать. И в этой работе будут представлены результаты таких наблюдений, сделанных автором и другими исследователями.

Следует отметить, что большинство случаев, рассмотренных бихевиористами [я о них узнал из книги Уотсона «Бихевиоризм» (I. B. Watson, "Behaviorism")] сильно отличаются от рассматриваемых нами, так как чаще всего они имеют отношение к мыслям, непосредственно связанным с телесными ощущениями, т. е. это случаи, которые наиболее легко интерпретировать в терминах их доктрины. В подобных случаях более или менее известно соответствие между телесными явлениями и состояниями сознания. Менее явным является это соответствие в случае абстрактного мышления, т. е. в том случае, который мы будем рассматривать. Однако это не значит, что оно не может быть обнаружено в какой-то момент, например с помощью электроэнцефалограмм мозга, — метода, который в настоящее время интенсивно развивается.

5

Möbius, "Die Anlage für Mathematik", Leipzig, 1900.

6

Несколькими годами раньше (1896 г.) появилась важная работа Франсиса Гальтона о наследственности дарований (Francis Galton, "Hereditary Genius"); одна глава в ней посвящена учёным.

Интересные данные по вопросам, которым посвящена книга Мёбиуса, можно найти также в книге Леонарда Гютри «Изучение раннего развития детей» (Leonard George Gutrie, "Contributions to the Study of Precocity in Children"), где рассказывается о ранних склонностях знаменитых людей.

Говоря только о математиках, отметим, что первым увлечением Галилея была живопись; в 17 лет он начал изучать медицину и лишь позднее занялся математикой. Уильям Гершель сначала получил музыкальное образование. Известно, что Гаусс колебался в выборе между математикой и филологией.

Подобные случаи встречаются и среди наших современников: Поль Пенлеве рассказывал мне, что долгое время он колебался между математикой и политикой. Сначала он предпочёл первую, чтобы затем, как известно, совместить то и другое.

7

P. Souriau, "Théorie de l'Invention", Paris, 1881. F. Paulhan, "Psychologie de l'Invention", Paris, 1904.

8

Для специалистов могу сообщить, что речь идёт о начале п. 27 [стр. 199–200], опубликованного в "Journal de Mathématiques Pures et Appliquees", série I, tome IX (1898), (вычисление определителя).

9

Открытие, сделанное в момент неожиданного пробуждения, о котором я рассказал выше, было сделано как раз в период, когда я находился в состоянии такого эмоционального возбуждения.

10

Цитируется по "Bulletin de la Societé de Phylosophie", tome 28, p. 18 (1928).

11

"Bulletin de l'Institut Général de Psychologie", № 3, 8 annee (1908) (см. Приложение III).

12

F. Paulhan, "Psychologie de l'Invention", Paris, 1904.

13

Paul Valery, "Bulletin de la Societé de Phylosophie", tome 28, p. 16 (1928).

14

См. замечание Катрин Патрик в статье: Catherine Patrick, "Archives of Psychology", vol. XXVI, № 178 (1935).

15

C. Nicolle, "Biologie de l'Invention", p. 6–7.

16

Обсуждая математические проблемы, мы говорим здесь только о случайностях психологических, т. е. о случайных умственных процессах. Надо (как это отметил Клапаред на конгрессе в Центре синтеза в Париже в 1937 г.) отличать их от внешних случайностей, как в хорошо известном случае с лягушками Гальвани. Этот последний тип случайностей играет, естественно, определённую инициирующую роль в открытиях экспериментальных наук.

17

Desdouits, "Théorie de l'Invention", 1892.

18

Насколько я понимаю, в современной гештальт-психологии считается, что существует единое восприятие лица, не зависящее от восприятия отдельных его деталей. Я не считаю себя достаточно компетентным, чтобы обсуждать эту важную концепцию, но так как этот вопрос находится в тесной связи с тем, о чём будет речь в дальнейшем (особенно в гл. IV), я должен сказать, что, хотим мы этого или нет, но существует нечто подобное изолированному воздействию света на различные точки нашей сетчатки (по крайней мере, в первый момент, когда этот эффект передаётся в мозг), и эти индивидуальные восприятия являются бессознательными. Являются ли эти бессознательные восприятия — вообще говоря, очень отдалённые, видимо, потому, что механизм соответствия приобретается в раннем детстве — аналогичными тем бессознательным процессам, которыми мы будет заниматься в следующих главах? Это уже другой вопрос, но я должен добавить, что для меня является несомненной их идентичность; существует цель промежуточных процессов, некоторые из которых описаны самими гештальтистами (например, в «Психологии формы» Поля Гийома), особенно для таких случаев, как обучение езде на велосипеде (что есть у многих авторов). Лично я научился езде на велосипеде, будучи подростком, но я не мог полностью постичь это искусство до тех пор, пока все движения, вначале сознательные, не стали совершенно бессознательными, настолько бессознательными, что я не знал уже, почему то, что у меня не получалось сначала, затем стало получаться.

19

Francis Galton, "Inquiries into Human Faculty", 1908; p. 146.

20

Краевое сознание (англ.). — Прим. перев.

21

Термин «предсознание» использовался Варендонком и другими авторами фрейдистской школы для обозначения особых психических состояний, но сомнительно, чтобы он мог быть использован у нас.

22

Бессонная ночь Пуанкаре (стр. 18–19) является исключением. Другим возможным примером, хотя и менее достоверным, является случай изобретателя, упомянутый Клапаредом на заседании в Центре синтеза.

23

Впервые это добавлено Тэном в издании 1897 г. (Taine, "De l'Intelligence", 1897; tome V, p. 278). (Русский перевод, сделанный с более ранних изданий: Тэн Ипполит, «Об уме и познании», т. 1–2, СПб, 1872, II изд. СПб, 1894).

24

На первый взгляд кажется, что некоторые новые психологические школы, как, например, Фрейда, не согласны с этой точкой зрения и признают лишь один вид бессознательного мышления (истинное). Один мой компетентный друг и коллега сообщил мне, что это неверная интерпретация мысли Фрейда.

Мы уже видели (на стр. 96–97).

25

Spenser, "The Principles of Psychology", vol. 1, ch. IV. (Русский перевод: Спенсер Герберт. «Основания психологии». тт. 1–4, СПб, 1876, изд. И. И. Билибин).

26

Fouillée, "L'Evolutionnisme des Idées — Forces", p. XIV и конец р. XIX.

27

Макс Мюллер замечает, что латинский глагол «cogito» означающий «думать», этимологически означает «волноваться вместе»; св. Августин также отмечает это и добавляет, что слово «intelligo» означает «выбирать среди». Любопытная связь с излагаемым нами материалом.

28

Paul Valery, "De la simulation", "Nouv. Revue Française", tome XXVIII, p. 620 (mai, 1927).

29

Хотя письмо Моцарта (см. стр. 20) показывает, что в его случае выбор был сознательным процессом, мы считаем, что, вероятно, ему предшествовал первоначальный бессознательный выбор, так как иначе мы пришли бы к гипотезе чистого случая.

30

Россман (Rossman, "Psychology of the Inventor", tome VI, p. 86) пишет: «Гипотеза о том, что подсознание определяет окончательное поведение, не решает проблему. Она лишь даёт название тому, что нас мистифицирует и затрудняет». Однако бессознательные процессы — это не просто названия, они реально существуют. Хотя их трудно наблюдать непосредственно, они существуют, как мы видели, независимо от того, являются ли они причиной озарения или нет. Ссылка на «психологические и химические условия тела», как это делает данный автор — конечно, не пытаясь точно определить, что это такое — наталкивается хотя бы на то же самое возражение, а именно, что мы только называем то, чего не понимаем. И это заявление Россмана, если оно имеет смысл, содержит лишь другое название гипотезы отдыха.

31

К исключению относятся такие случаи, как с Моцартом и (по описанию Катрин Патрик в статье: Catherine Patrick, "Archives of Psychology", vol. XXVI, № 178, 1935) с А. Е. Хаусманом. Однако по причинам, о которых говорилось выше, я считаю, что эти исключения безусловно кажущиеся, дело здесь в стремительности инкубации.

32

См. R. S. Woodworth, "Experimental Psychology", p. 823.

33

Предпочитают ли математики работать сидя или стоя, является одним из тех вопросов, которые поставлены в вопроснике «Математического образования». Привычки такого типа являются сугубо индивидуальными. Из рассказов Гельмгольца и Пуанкаре можно заключить, что они обычно работали, сидя за столом. Я этого не делаю никогда, за исключением тех случаев, когда приходится делать письменные вычисления (к которым я испытываю некоторое отвращение). За исключением ночей, когда я не могу уснуть, всё, что я нашёл, я нашёл, расхаживая по комнате; я придерживаюсь на этот счёт точки зрения персонажа Эмиля Ожье, который говорил: «Ноги — колёса мысли».

34

Известный современный математик. — Прим. ред.

35

К сожалению, рассказав, что эта ночь не была единственной, когда он мог наблюдать работу своего подсознания, Пуанкаре не указал никаких других деталей, хотя любые справки по этому вопросу были бы для нас очень ценными.

36

См. Platt et Baker, "Journal of Chemical Education", tome VIII, p. 1969–2002 (1931).

37

R. S. Woodworth, "Experimental Psychology", p. 40.

38

Катрин Патрик (Catherine Patrick, "Archives of Psychology", vol. XXVI, № 178, 1935) провела эксперимент, связанный с поэтическим творчеством: она попросила нескольких человек (некоторые из них были профессиональными поэтами, другие же — нет) написать стихотворение, тема которого была подсказана картинкой, которую она им показала. В противоположность её мнению, я не могу считать этот процесс сравнимым с теми процессами, которые мы изучаем. Время эксперимента — едва больше двадцати минут — показывает, что она исследует совершенно другой вопрос: то, что она называет инкубацией (во время которой испытуемый должен вслух рассказать ход своих мыслей в процессе выполнения заданной работы), совершенно не связано с тем процессом инкубации, который рассматривают Гельмгольц и Пуанкаре и во время которого течение мыслей, связанное с поисками решения проблемы, может быть совершенно неизвестно испытуемому.

39

Graham Wallas, "The Art of Thought", p. 96.

40

См. R. S. Woodworth, "Dynamic Psychology".

41

Я вынужден почти одновременно пользоваться двумя словами — «механизм» и «механисты», — значения которых совершенно различны и независимы. Я надеюсь, что это не введёт читателя в заблуждение.

42

Известный французский философ. — Прим. ред.

43

Здесь Пуанкаре намекает на Эмиля Бутру, чьё влияние на него в данном случае несомненно.

44

Видимо, то же самое происходит и по отношению к снам, которым с самого сотворения мира приписываются некие пророческие свойства. Но было бы слишком непочтительно сравнивать метафизические теории бессознательного с вульгарными «толкователями снов».

45

Не следует, однако, понимать слово «сознательный» слишком дословно. Более внимательный анализ нам покажет (см. гл. VI), что существует тесная кооперация между сознанием и поверхностным подсознанием, или «краевым сознанием», о котором мы говорили в гл. II.

46

Henri Delacróix, "L'Invention et la Genie".

47

Для специалистов: 1. «Если коэффициенты ряда Маклорена являются действительными положительными числами и радиус cxодимости равен R, то x = R должна быть особой точкой». 2. «Для ряда Маклорена с конечным радиусом сходимости, вообще говоря, вся окружность круга сходимости является существенно особой линией».

48

Французский математик (André Bloch). — Прим. ред.

49

Для специалистов: см. стр. 351–355 моих «Лекций о задаче Коши» ("Lecons sur le Probléme de Cauchy", Yale). Улучшенное решение дано в «Методах математической физики» Гильберта и Куранта, на базе работ Джона и Асгейрсона.

50

"La Psychologie et la vie" (фр.)

51

Пуанкаре замечает, что у него это случалось чаще всего с идеями, приходящими «утром или вечером в постели, в полусонном состоянии».

52

"Bulletin de la Societé de Phylosophie", tome 28, p. 16 (1928).

53

Отметим такую любопытную особенность: у некоторых из них эта способность была временной и исчезла спустя несколько лет.

54

См. Möbius, "Die Anlage für Mathematik", p. 74–76.

55

Вмешательство бессознательных процессов в численные расчёты отмечали также Scripture, "American Journal of Psychology", vol. IV (1891). См. также книги Бинэ «Психология великих вычислителей» и «Игроки в шахматы» (Binet, "Psychologie des Grands Calculateurs" и "Joueurs d'Echecs").

Но эти свидетельства не столь позитивны и точны, как свидетельство Ферролля, и возможно смешение частичных результатов, полученных бессознательно, и результатов, заранее выученных на память.

56

"Théorie de l'Invention", p. 127.

57

См., например, статью A. Binet, "Revue des Deux Mondes", serie 3, tome 117 (mai — juin, 1893), p. 826–859, и особенно гл. IV.

58

«Время» — французская газета тех лет. — Прим. ред.

59

Точно так же однажды на бакалавриате по философии в Париже была дана следующая тема (достойная сожаления, насколько я могу судить): «Показать, что язык нам столь же необходим для мышления, как и для передачи наших мыслей».

60

Max Müller "Three Introductory Lectures on the Science of Thought", London, 1887; см. также более полный его труд; "The Science of Thought", опубликованный в том же году.

61

Весьма вероятно, что безграничное доверие Макса Мюллера к словам вытекает из его работы как лингвиста, которой он посвятил всю свою жизнь.

62

Köhler, "Mentality of Apes", New York, 1923; см., например, эксперимент с шарнирно-сочленённой палкой.

63

«Диалог о соотношении между мыслями и словами»: «Меня сильно смущает (Hoc unum me male habet) то, что я никогда не могу узнать, открыть или доказать никакой истины, не используя в уме слов или других вещей».

64

См. обмен письмами в конце "Introductory Lectures".

65

Гальтон в "Inquiries into Human Faculties" проводил интерпретировавшиеся по правилам статистики опросы относительно роли воображения, которое рассматривалось само по себе. Нам следовало бы теперь провести подобный опрос о роли воображения в качестве помощника мышления.

66

"Etude expérimentale de l'Intelligence" (1903).

67

Bühler, "Archiv f. die Ges. Psych.", tome IX (1907), tome XII (1908), особенно стр. 92–123. См. также G. Dumas, "Traité de Psychologie", tome I, ch. IV.

68

"Etude expérimentale de l'Intelligence", p. 107.

69

"Etude Expérimentale de l'Intelligence", p. 124.

70

Dwelshauvers, "Les Mécanismes Subconscients".

71

R. S. Woodworth, "Psychology" (4-е издание), стр. 33. Однако Вудвортс говорит здесь о случае, когда задаётся трудный вопрос, что, скорее, соответствует нашей третьей категории концентрированной мысли, чем мысли просто контролируемой.

72

"Etude Expérimentale de l'Intelligence", p. 108.

73

Вполне возможно, и даже весьма вероятно, что слова присутствуют в краевом сознании. Во всяком случае, я думаю, что так бывает со мной, когда я занимаюсь математикой. Но я сомневаюсь, что так же обстоит дело и для процессов мышления в других отраслях науки, так как тогда бы я сумел найти подтверждение этому. Происходит очевидная путаница по существу вопроса, когда, приведя высказывание Уильяма Гамильтона, который замечает, что «знание формируется раньше, чем мы его можем выразить с помощью символов», так что идея должна обязательно предшествовать словам, Макс Мюллер заявляет, что в этом он с ним согласен (sic), так как из этого заявления Уильяма Гамильтона можно сделать вывод, что мысль и её обозначение «почти совпадают» по времени. Хотя я являюсь случайным человеком в психологии, я её знаю достаточно для того, чтобы понять, что умственные процессы часто протекают очень быстро, и было бы абсурдным изучать их, не различая явлений «почти совпадающих» и одновременных. Более того, Уильям Гамильтон очень ярко выразил свой взгляд на вопрос, прибавив: «Таким образом, речь является для мысли не матерью, а крёстной».

74

Автор здесь имеет в виду рассуждения Эйлера в «Письмах к немецкой (не шведской!) принцессе». — Прим. ред.

75

У меня очень плохая память на лица и я часто не узнаю людей или ошибаюсь, узнавая их. К звучанию названий, напротив, я очень чувствителен, и повидать такие реки как Мохок (Mohowk) и Маттавамкег (Mattawamkeag) мне хочется гораздо больше, чем этого заслуживает их красота, так как одни их названия рождают в моём воображении представление о лесах и жизни индейцев. Я меньше, чем другие люди, замечаю сходство в лицах, и более чувствителен к сходству голосов.

Многочисленные ошибки при машинальных записях происходят из-за слухового воображения (см. гл. II, стр. 25). Примеры такого рода являются классическими. Лично со мной это случается часто: в моём сознании возникает слово, которое я бессознательно пишу вместо другого, если они похожи по звучанию. Так, когда я писал эту книгу на английском языке, я часто писал: "simple" вместо "same place" и "will she" вместо "we shall". Я думаю, что ошибки такого типа случаются чаще, когда я пишу по-английски, чем когда я пишу по-французски, что вполне естественно.

76

Бутру не даёт, однако, точной ссылки.

77

Watt, "Archiv f. die Ges. Psych.", tome 4 (1904); см. также G. Dumas "Traité de Psychologie", tome 1, ch. 4.

78

Уильям Гамильтон использует интересное сравнение: строительство тоннеля в песчаной почве. «При этом нельзя добиться успеха, если не укреплять каждый метр, нет, каждый сантиметр каменной кладкой, прежде чем продолжать дальнейшую выемку. И речь в процессе мышления является тем же, чем каменная кладка при строительстве тоннеля. Умение думать и умение копать не зависят от слов в первом случае и от каменной кладки — во втором, но без этих вспомогательных процессов мы остались бы на стадии примитивных попыток».

Вообще говоря, только что описанная зависимость демонстрирует то, что было названо результатом-эстафетой. В процессе изобретения они не обязательно включают в себя слова.

79

Полный текст письма см. в «Эйнштейновском сборнике», М., 1967. — Прим. ред.

80

Как видно, мыслительные процессы профессора Эйнштейна в общем аналогичны процессам, описанным в гл. VI, но естественно, что некоторые детали носят специфический характер. Наиболее существенное и замечательное различие связано с последним вопросом, оно касается роли краевого и полного сознания. Профессор Эйнштейн ссылается на «узость сознания»: тема, которую мы обсудили бы в гл. II, если бы не боялись зайти слишком далеко; этот вопрос исследуется в «Психологии» Уильяма Джеймса (гл. XIII, стр. 217 и следующие).

Было бы интересно сравнить идеи Макса Вертгеймера (связанного со школой гештальт-психологии) не только со сказанным в гл. VI, но и с первой частью гл. VII.

81

Аналогичным описанному является случай профессора Шевалле.

82

"Psychological Review", vol. 4, p. 71 (1891). Стенли (Stanley) говорит там в основном о поэтическом творчестве, где роль слов очевидно больше, чем в любом другом изобретательском процессе.

83

Один из профессоров Колумбийского университета написал мне, что у него математические раздумья сопровождаются обычно визуальными изображениями и почти никогда никакими словами, кроме тех, которые выражают удивление, раздражение, экзальтацию и т. д.

84

Th. Ribot, "Evolution des Idées générales", p. 143.

85

Pierre Boutroux, "L'Imagination et les Mathématiques selon Descartes", tome 10, p. 11, 18 (1900).

86

Как замечает Клейн, тот факт, что мы рассуждаем об угле в одну миллионную секунды, в то время как мы совершенно неспособны различить две стороны такого угла, является уже парадоксальным; и обсуждение этого парадокса Винтёром (Winter, "Revue de Métaphysique et de Morale", 1908, p. 323), одним из философов, которые лучше других разбираются в научных вопросах, показывает аналогию между этим обстоятельством и наблюдениями, которые мы приводим здесь.

87

Другой пример, который мы увидим в гл. VII на стр. 98, проиллюстрирует это ещё ярче и более убедительно. При разборе этого примера из гл. VII не возникает никакого сомнения (по крайней мере у меня) по поводу способа, которым производится разделение работы.

88

Julius Bahle, "Der Musikalische Schaffensprozess", Hirzel, Leipzig, 1936. Цитируется по книге: Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", p. 520.

89

Один художник мне говорил, что на первой стадии работы его визуальные представления являются произвольно расплывчатыми.

90

Аристид Бриан, по словам одного из его ближайших сотрудников, часто имевшего возможность видеть его за работой, думал словами, когда готовил свои речи. Слова появлялись в тот момент, когда их надо было произносить.

Конечно, стоило бы узнать мнение крупных представителей таких профессий, которым при работе приходится следить за всем ансамблем и за каждой деталью одновременно, например мнение крупных дирижёров.

91

Это также случай профессора Романа Якобсона (см. стр. 92).

92

"L'Evolution des Idées Générales", p. 143. У Жана Перрена, по словам его сына, возникали обрывочные изображения типографского типа. Франсис Перрен думает обычно без слов, но время от времени какое-то слово у него появляется. У Сидгвика идеи возникали в типографском представлении, когда он думал не над экономическими, а над математическими или логическими вопросами.

93

Макс Мюллер соглашается, что «при некотором усилии» он может представить себе ход мысли такого явного противника, как Беркли, и понять некий «вид философской галлюцинации», говоря его словами. Но он не может понять того мнения, что большинство, а не все наши мысли выражаются в словах, или что большинство, а не все люди думают словами. Тот факт, что некоторые из великих авторов говорят об этом не из-за «отсутствия смелости», а потому что так оно и есть, явно выше его понимания.

94

Сколь парадоксальным это ни является, есть два примера такого же типа из области математики. За несколько лет до первой мировой войны один математический вопрос, связанный с метафизикой, вызвал в нашей среде оживлённые споры, особенно между мной и одним из моих лучших и наиболее уважаемым друзей, крупным учёным Лебегом. Мы вынуждены были констатировать, что по-разному понимаем очевидность — эту отправную точку уверенности в мышлении всякого рода. Но, естественно, мы не стали презирать друг друга только из-за того, что мы поняли невозможность взаимопонимания.

Второй пример касается теории множеств. Когда в 1879–1884 гг. Георг Кантор опубликовал свои результаты по этой теории (являющейся теперь одной из основ современной науки), один из этих результатов казался настолько парадоксальным и меняющим наши основные понятия, что он вызвал решительную недоброжелательность Кронекера, одного из ведущих математиков того времени. В связи с этим Кронекер даже помешал Кантору получить новый пост в немецких университетах, и ни одно из его произведений не появлялось в немецкой периодике. Нужно ли говорить, что доказательство этого результата является столь ясным и строгим, как и всякое другое математическое доказательство, и не даёт никаких оснований оспаривать его.

95

Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. См. «Фауст», ч. 1, пер. Б. Л. Пастернака, где эти строки переданы так:

Бессодержательную речь

Всегда легко в слова облечь.

— Прим. ред.

96

Th. Ribot, "Psychologic de l'Attention", p. 85. Рибо описывает одновременно развитие этой функции слова. Он пишет: «Обучение счёту детей или, ещё лучше, дикарей показывает, как слово, связанное первоначально с предметами, а затем с понятиями, отделяется постепенно от них и становится независимым».

97

"The Science of Thought", vol. 1, p. 97.

98

William James, "A Pluralistic Universe", p. 272.

99

См. H. Delacróix, "Le Langage et la Pensée", p. 381 и далее, и сравнить с замечаниями на стр. 406.

100

См. также Titchener, "Experimental Psychology of the Thought Processes", в особенности лекцию 1 и соответствующие замечания.

101

Тот же вопрос занимает большое место в некоторых психологических исследованиях Варендонка. См. Varendoncq, "Psychology of Day Dreams", особенно ch. II, p.75–86.

102

"Experimental Psychology of the Thought Processes", p. 7 и далее.

103

Вопросы, которых мы здесь слегка коснулись, связаны больше с арифметизацией, чем с теми идеями Гильберта, о которых мы упоминали в главе IV.

104

Тут можно сделать то же заключение, что и по поводу «Основ геометрии» Гильберта. Я дал упрощённое доказательство первой части теоремы Жордана; моё доказательство может быть, естественно, вполне арифметизовано, иначе оно не считалось бы доказательством, но, разыскивая его, я всё время думал о фигуре (всегда представляя её себе в виде весьма извилистой кривой), и так повторяется всегда, когда я думаю об этом доказательстве. Я даже не могу утверждать, что я строго проверил это доказательство или для каждого его звена я проверял возможность его арифметизации (другими словами, арифметизованное доказательство не возникало в моём сознании). Однако ни для меня, ни для какого-либо другого математика, который будет читать доказательство, нет сомнения в том, что каждое его звено может быть арифметизовано; я могу мгновенно дать это доказательство в арифметизованном виде, и это доказывает, что в такой форме доказательство имеется в моём краевом сознании.

105

"Science et Méthode", p. 104.

106

H. Poincaré, "Valeur de la Science", p. 11.

107

F. Klein, "The Evanston Colloquium", p. 46.

108

"Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p. 657.

109

Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё — абсолютно всё существенное — базируется на основной идее Эрмита.

110

Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

111

Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).

112

Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.

113

Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, "Du cheminement de la Pensée", tome 1, цитируется по Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.

114

По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. — Прим. ред.

115

К настоящему времени известно, что соотношение x^m + y^m = z^m неразрешимо в целых числах для m ≤ 2521. — Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет — книга Саймона Сингха. — E.G.A.]

116

Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.

117

Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с неё начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой трудной) из математических наук, когда пытаются в неё углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых. (Арифметика у французских и немецких авторов часто применяется как синоним теории чисел. — Прим. ред.).

118

Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.

119

Есть основания полагать, что дуэль, на которой был убит Галуа, была подстроена полицией. — Прим. ред.

120

Случай покажется ещё более странным, если заметить, что на той же 216 странице третьего тома, всего несколькими строками выше, Пуанкаре пишет: «Это исследование связано с трудным вопросом о второй вариации».

Однако в теории Вейерштрасса, т. е. в нашем современном вариационном исчислении, нет вопроса о второй вариации — она совершенно не используется.

Таким образом, на этой странице «Новых методов» получилось любопытное противоречие. Упоминание о «второй вариации» сделано человеком, который представления не имеет о новой теории. С другой стороны, Пуанкаре, показал, что он её вполне себе представлял, когда формулировал своё условие (А) (такую форму он придал условию Вейерштрасса). Однако до появления новой теории никто не думал о вещах такого рода: знали лишь классическое, но не столь адекватное «условие Лежандра».

Следует ли сделать заключение, что Пуанкаре испытал своего рода раздвоение личности?

121

Renan, "L'Avenir de la Science", p. 115. (см. рус. перевод: Эрнест Ренан, «Будущее науки», т.1–2, Киев, 1902, изд. К. Б. Фукс).

122

Для специалистов: это была «теорема композиции».

123

Это та самая теория, мимо которой я прошёл, «не заметив её», как я рассказывал об этом в гл. IV. Утешением для моего самолюбия было лишь то, что я дал звено, оказавшееся необходимым для выводов Фредгольма.

124

Небольшая неточность автора: задача о брахистохроне была поставлена и решена Иоганном Бернулли (а также Лейбницем, Ньютоном, Яковом Бернулли и Лопиталем) в конце XVII века. — Прим. ред.

125

Рассматривая один из вопросов аналлагматической геометрии (см. гл. IV), я недооценил его красоты и не уделил ему в достаточной мере внимания.

126

"The Art of Thought", стр. 206–210. Уоллас указывает на тот факт, что очень крупные учёные не стремятся к оригинальности, им это не нужно. Он говорит, что для них «в моменты работы устанавливается гармония между интенсивной деятельностью всей высшей и низшей нервной системы, с одной стороны, и сознательным волевым усилием, с другой».

127

Точка зрения, аналогичная той, которая высказывается нам в этой работе, изложена в недавно выпущенной брошюре Харди (Г. Г. Харди «Апология математика»). Хотя он и не даёт полного определения красоты (или «серьёзности», как он это называет) математического вопроса или результата, — определения, которое, естественно, должно учитывать и эстетическую сторону дела, — но Харди очень тонко и глубоко анализирует вопрос об условиях, которые должны быть соблюдены при таком определении.

Он рассматривает также вопрос о том, что влияет на исследователя. Он указывает три важных мотива и первым из них является, естественно, желание узнать истину. По причинам, о которых я говорил, я больше чем он отстаиваю положение, что именно этот мотив преобладает и даже необходим.

128

Случайно ли сходство эволюции идей у греческих философов и у мыслителей нашей эры по вопросу о словах и о мышлении без слов, и не проявляется ли в этом какой-то общий закон эволюция мышления? Естественно, этого нельзя утверждать, основываясь лишь на двух приведённых примерах. Но если бы это было доказано, такой факт был бы многозначителен. Возможно, что большой интерес представляет изучение этой проблемы в азиатской, или в арабской философии (особенно испанского периода).

129

Примерно соответствует сдаче кандидатского минимума по специальности. — Прим. ред.

130

Лишь несколько математиков ответили на вопросы 31.а) и 31.б), в частности в связи с топологическими аргументами типа доказательства теоремы Жордана (см. гл. VII, стр. 98). У всех без исключения геометрический аспект рассуждения является вполне сознательным. Один или двое из них чувствуют сразу же возможность выразить в аналитической форме любое звено этого рассуждения и даже способны немедленно найти этот перевод на аналитический язык (так что аналитическая форма доказательства должна находиться в краевом сознании); другим нужно приложить для этого большее или меньшее усилие.

131

Добавлено в настоящем издании. — Прим. ред.

132

Оценки на этих экзаменах весьма дифференцированны, даются по стобалльной системе по двадцати предметам. Адамар набрал около 1900 баллов.