Исследование психологии процесса изобретения в области математики - [31]

Рассмотрим теперь два геометрических примера. Если я хочу непрерывным движением точки описать в плоскости кривую, то здравый смысл подсказывает, что во всех её точках (кроме, может быть, нескольких исключительных точек) кривая будет иметь касательную (другими словами, в каждый момент движение обязательно происходит во вполне определённом направлении). Мы не знаем, как здравый смысл — т. е. наше бессознательное — приходит к такому выводу; может быть, благодаря опыту, т. е. вспоминая кривые, которые мы привыкли видеть; или, как это предполагает Ф. Клейн, смешивая геометрические кривые, которые не имеют толщины, с кривыми, которые мы реально можем провести и которые всегда имеют некоторую толщину. В действительности вывод ошибочен: математики умеют строить непрерывные кривые, которые нигде не имеют касательной.

В качестве второго примера рассмотрим замкнутую плоскую кривую, которая не имеет «двойных точек», т. е. нигде не пересекается сама с собой. Для здравого смысла очевидно, что такая кривая, какова бы ни была её форма, делит плоскость либо на две различные области, либо более чем на две. Точно не известно, как здравый смысл приходит к такому выводу, и вероятно, что здесь снова налицо вмешательство эмпиризма. На этот раз заключение (теорема Жордана) правильно, но, несмотря на его очевидность для нашего здравого смысла, его доказательство очень трудное.

С помощью таких примеров можно понять, что, по крайней мере для некоторого класса вопросов, связанных с основами[103], невозможно с уверенностью полагаться на нашу обычную пространственную интуицию: так же, как геометрические свойства могут быть сведены к свойствам аналитическим благодаря аналитической геометрии, рассуждения всегда должны быть полностью арифметизованы; или, по крайней мере, необходимо убедиться, что такая арифметизация возможна, даже если она для краткости не проводится. Слова Паскаля «Всё, чего не может геометрия, не можем и мы» заменены современными математиками словами «Всё, чего не может арифметика, не можем и мы».

Например, доказательство теоремы Жордана, сформулированной выше, является удовлетворительным лишь тогда, когда оно полностью арифметизовано[104].

Вторая стадия — изучение математики

После этой стадии здравого смысла приходит следующая стадия — научная. Мы видели, что она характеризуется наличием тройной операции: проверки результата, его «завершения» и особенно его подготовки к использованию, что требует формулировки результата-эстафеты. Мы видели, что это существенно, во-первых, для того, чтобы иметь уверенность в приобретённых таким образом знаниях и для того, чтобы иметь возможность их плодотворно использовать.

Эти особенности помогут нам понять, что происходит, с точки зрения психологии, при переходе от первой стадии ко второй; другими словами, понять то, что происходит при изучении математики.

Известно, до какой степени обычным делом здесь являются полное непонимание и полный крах. Впрочем, я буду очень краток в этом вопросе, так как он основательно рассмотрен Пуанкаре. Прежде чем его обсуждать, небесполезно заметить, что изучение математики уже входит в тему нашего исследования. Между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и изобретательской работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера.

Как получается, что столько учеников неспособны к этому виду работы, неспособны понимать математику? Пуанкаре рассмотрел именно этот вопрос[105], и он ярко показал, какова здесь действительная причина, источник которой — тот смысл, который следовало бы придавать слову «понимать».

«Понять доказательство теоремы, — значит ли это исследовать последовательно каждый из силлогизмов, из которых она состоит, и констатировать, что он корректен и соответствует правилам игры? Да, для некоторых; установив это, они скажут: «Я понял». Но не для большинства. Почти все остальные являются гораздо более требовательными; они хотят знать не только все ли силлогизмы в доказательстве верны, но также почему они связываются в таком порядке, а не в другом. Так как они считают это порождением каприза, а не ума, постоянно и сознательно стремящегося к цели, они считают, что не поняли.

Несомненно, они не вполне отдают себе отчёт в том, чего требуют, и они не сумели бы сформулировать своё желание, но если они не удовлетворены, то они смутно чувствуют что им чего-то не хватает.»

Легко понять связь между сказанным и нашими предыдущими рассмотрениями. Чтобы преподавать устно или письменно, надо дать каждую часть доказательства в совершенно осознанном виде, в соответствии с одновременными стадиями проверки и «завершения», которые мы описали выше. При этом, думая о будущих следствиях, обычно стараются увеличить число результатов-эстафет. При таком подходе (который кажется наилучшим для получения ясного и строгого представления у начинающего) не остаётся ничего от синтеза, важность которого мы подчеркнули в предыдущей главе. Этот синтез является для нас поводырём, без которого мы были бы как слепые, умеющие ходить, но никогда не знающие направления, в котором надо идти.