Исследование психологии процесса изобретения в области математики - [23]

Нет никаких оснований считать, что процессы при этих трёх видах мышления одинаковы; и действительно они таковыми не являются. И только третий случай касается нас непосредственно.

Точка зрения Бинэ

Резюмируя свои опыты, Бинэ склоняется к выводу[72], что слова или чувственные образы могут быть полезными для того, чтобы придать точную форму чувствам или мыслям, которые без их помощи оставались бы слишком туманными; или даже для того, чтобы мы имели возможность полностью осознать мысль, которая без этого оставалась бы бессознательным актом ума; кроме того, они используются для перехода идей из области бессознательного в сознание, точнее, из бессознательного, где они расплывчаты, в сознание, где они уточняются.

Одно время я был склонен принимать концепцию Бинэ. Действительно, она до некоторой степени удовлетворяла двойному условию, кажущемуся противоречивым:

а) что помощь образов абсолютно необходима для сопровождения моей мысли;

б) что образы никогда не вводят меня в заблуждение, и я не боюсь, что это произойдёт.

Но последующие рассуждения привели меня к другой концепции. Действительно, опыты Бинэ или Двельшауверса не соответствуют тому случаю, который мы рассматриваем: они касаются контролируемой, но не концентрированной мысли. Двум девочкам ставят вопросы типа: «Что вам приходит в голову, когда вы думаете о том, что делали вчера?» Наиболее трудный вопрос, который я видел в книге Бинэ, был следующим: «Подумайте, что бы вы предпочли делать, если бы могли остаться на три часа одна и совершенно свободной в своих действиях?»

Личные наблюдения

Случай исследовательской работы является, естественно, совершенно иным, поэтому я хотел понять, что же происходит в моём уме, когда я начинаю строить или понимать математическое рассуждение (я сказал вначале, что существенной разницы между этими двумя вещами нет).

Я утверждаю, что слова полностью отсутствуют в моём уме, когда я действительно думаю, и что я полностью отождествил бы свой случай и случай Гальтона в том смысле, что когда я услышу или прочитаю вопрос, все слова исчезают точно в тот момент, когда я начинаю думать; слова появляются в моём сознании[73] только после того, как я окончу или заброшу исследование, точно так же, как и у Гальтона, и я полностью согласен с Шопенгауэром, когда он пишет: «Мысли умирают в тот момент, когда они воплощаются в слова».

Я думаю, что существенно также подчеркнуть, что я веду себя так не только по отношению к словам, но и по отношению к алгебраическим знакам. Я их использую, когда я делаю простые вычисления; но каждый раз, когда вопрос кажется более трудным, они становятся для меня слишком тяжёлым багажом: я использую в таком случае конкретные представления, но они совершенно другой природы.

Пример такого типа известен в истории науки, он был дан Эйлером, чтобы объяснить шведской[74] принцессе свойства силлогизмов. Эйлер представляет общие идеи кругами; если мы должны думать о двух категориях вещей A и B так, что каждая вещь A есть B, мы представляем себе круг A внутри круга B. Если, напротив, никакой элемент A не B, мы представляем себе круг A целиком вне круга B; если же, наконец, лишь некоторые элементы A суть B, то два круга должны пересекаться.

Итак, если я должен думать о каком-нибудь силлогизме, я о нём думаю не словами — слова мне не позволили бы понять, правилен ли силлогизм или ложен, — а с помощью интерпретации, аналогичной интерпретации Эйлера, пользуясь, однако, не кругами, а какими-то пятнами неопределённой формы, так как для того, чтобы представлять себе эти пятна находящимися одно внутри или вне другого, я не должен их видеть имеющими строго определённую форму.

Чтобы рассмотреть несколько менее тривиальный случай, возьмём элементарное и хорошо известное доказательство теоремы: «Последовательность простых чисел не ограничена». Я повторю последовательные этапы классического доказательства этой теоремы, записывая рядом с каждым из них соответствующий образ, возникающий в моём мозгу. Например, нам нужно доказать, что существует простое число, большее 11:

Этапы доказательства

Мои умственные образы

Я рассматриваю все простые числа от 2 до 11, то есть 2, 3, 5, 7, 11.

Я вижу неопределённую массу.

Я образую их произведение 2·3·5·7·11 = N.

Так как N — число достаточно большое, я представляю себе точку, достаточно далеко удалённую от этой массы.

Я прибавляю к этому произведению 1 и получаю N+1.

Я вижу вторую точку, недалеко от первой.

Это число, если не является простым, должно иметь простой делитель, который и является искомым.

Я вижу некоторое место, расположенное между неопределённой массой и первой точкой.

Какая может быть польза от такого странного и неопределённого представления? Оно, конечно, не используется здесь для того, чтобы напомнить мне какое-нибудь свойство делимости, так как всякая информация, данная таким образом, могла бы оказаться неточной и сбить меня с пути. Этот механизм удовлетворяет, таким образом, условию б), поставленному выше. Наоборот, это условие лишь частично выполняется при гипотезе Бинэ: уточнять бессознательные идеи всегда связано с риском их исказить.