Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [86]
Плата за вход
Сколько вы согласились бы заплатить за участие в следующей игре? Я бросаю игральную кость и плачу вам столько долларов, сколько на ней выпадет очков. В одном случае из шести выпадает «шестерка», и вы получаете 6 долларов. Любое другое число тоже выпадает один раз из шести. За шесть бросков вы можете заработать 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 доллар. Значит, средний выигрыш за один бросок равен 21/6 = 3,50. Если вам предложат сыграть за меньшую плату, имеет смысл соглашаться, потому что в долгосрочной перспективе вы должны остаться в выигрыше. Каждый раз, когда играешь на деньги, разумно оценить, каким должен быть средний выигрыш, чтобы понять, стоит ли играть в эту игру.
Хотя к открытию того факта, что к азартным играм можно применять математические методы, привела переписка между Ферма и Паскалем, математическая теория вероятностей по-настоящему кристаллизовалась лишь с появлением работы швейцарского математика Якоба Бернулли «Искусство предположений» (Ars Conjectandi)[111]. Якоб принадлежал к тому самому клану Бернулли, который выступал на стороне Лейбница в споре об авторстве математического анализа. Именно в этой работе можно найти формулу целесообразной платы за участие в любой игре.
Предположим, существует N возможных исходов. В случае исхода 1 вы выигрываете W(1) долларов. Это происходит с вероятностью P(1). Аналогичным образом исход 2, вероятность которого P(2), приносит вам W(2) долларов. Каждый раз, когда вы играете в эту игру, вы выигрываете в среднем W(1) × P(1) + … + W(N) × P(N) долларов. Таким образом, если вам предлагают сыграть за меньшую сумму, в долгосрочной перспективе вы останетесь в выигрыше. Например, в моей игре с игральной костью есть шесть исходов, все вероятности P(1), … P(6) равны 1/6, а выигрыши W(1), … W(6) составляют от 1 до 6 долларов.
Эта формула казалась правильной, пока родственник Якоба Николай Бернулли[112] не совершил нечто почти наводящее на мысль об эдиповом комплексе: он придумал следующую игру. Я подбрасываю монету. Если выпадает орел, я плачу вам 2 доллара и игра заканчивается. Если выпадает решка, я подбрасываю монету еще раз. Если на этот раз выпадает орел, я плачу вам 4 доллара. Если решка, я подбрасываю монету еще раз. Каждый раз, когда я подбрасываю монету, выигрыш удваивается. Например, если 6 раз выпадает решка, а потом орел, я должен заплатить вам 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2>7 = = 128 долларов. Сколько вы согласились бы платить за участие в игре Николая? Четыре доллара? Двадцать? Сто?
Существует 50-процентный шанс, что вы выиграете всего 2 доллара. В конце концов, вероятность того, что при первом же броске выпадет орел, равна 1/2. Значит, P(1) = 1/2, а W(1) = 2. Но вы надеетесь, что перед орлом будет долгая череда решек: тогда вы получите по-настоящему большой выигрыш. Вероятность того, что сначала выпадет решка, а за ней – орел, равна 1/2 × 1/2 = 1/4. Но в этом случае вы выиграете 4 доллара. Значит, для второго исхода P(2) = 1/4, а W(2) = 4. По мере продолжения игры вероятности становятся все меньше, но выигрыш – все больше. Так, для случая с шестью решками перед орлом вероятность равна (1/2)>7 = 1/128, но выигрыш составляет 2>7 = 128 долларов.
Если вы останавливаете игру после 7 бросков, вы проигрываете только в случае выпадения семи решек подряд. По формуле Якоба средний выигрыш получается равным W(1) × P(1) ++ … + W(7) × P(7) = (1/2 × 2) + (1/4 × 4) + … + (1/128 × 128) == 1 + 1 + … + 1 = 7 долларам. Таким образом, играть имеет смысл, если за это предлагают заплатить меньше 7 долларов.
Но вот в чем загвоздка. Николай готов играть бесконечно, пока не выпадет орел. Вы выигрываете в каждой партии. Сколько же вы можете заплатить за участие в игре? Теперь вариантов бесконечно много. Из формулы следует, что средний выигрыш будет составлять 1 + 1 + 1 + … – бесконечно много долларов! Если вам предлагают играть по таким правилам, выгодно согласиться, сколько бы это ни стоило. Если плата за участие – 2 доллара, вы будете проигрывать с вероятностью 50 процентов, каждый раз, когда с первого же броска будет выпадать орел. Но математика утверждает, что если вы будете продолжать игру, то в долгосрочной перспективе вы должны оказаться в выигрыше.
Почему же большинство не согласится играть в такую игру, если входная плата будет больше долларов десяти или около того? Речь идет о санкт-петербургском парадоксе, названном так в честь Даниила Бернулли, двоюродного брата Николая[113], который предложил первое объяснение причин, по которым ни один рационально мыслящий человек не согласится играть в такую игру за любую плату. В то время Даниил работал в Академии наук в Санкт-Петербурге. Его ответ сводится к тому, что скажет вам любой миллиардер: первый заработанный миллион гораздо ценнее второго. В формулу нужно подставлять не сумму выигрыша, а его ценность для вас лично. Поэтому цена, которую вы готовы заплатить за участие в игре, меняется в зависимости от того, насколько вы цените ее исход. Решение Даниила имело значение, выходящее далеко за рамки любопытной математической игры: по сути дела, оно стало основой всей современной экономики.
Знаменитый оксфордский профессор и популяризатор науки Маркус дю Сотой исследует природу творчества, освещая наиболее важные аспекты работы алгоритмов и математических правил, которые лежат в их основе. Он задается вопросом, насколько наш эмоциональный отклик на произведения искусства обусловлен реакцией мозга на закономерности и структуры и что именно означает заниматься творчеством в математике, изобразительном искусстве, литературе и музыке. На основе ярких примеров того, как «поверяется алгеброй гармония» мировых шедевров, среди которых «Евгений Онегин» Пушкина, «Песнь льда и пламени» Джорджа Р.
«Хотя эта книга посвящена тому, чего мы знать не можем, также очень важно понять, что мы знаем. В этом путешествии к пределам знаний мы пройдем через области, уже нанесенные учеными на карты, до самых пределов последних на сегодняшний день достижений науки. В пути мы будем задерживаться, чтобы рассмотреть те моменты, когда ученые считали, что зашли в тупик и дальнейшее продвижение вперед невозможно, но следующее поколение исследователей находило иные пути. Это позволит нам по-новому взглянуть на то, что мы сегодня можем считать непознаваемым.
«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Настоящая книга представляет собой интереснейший обзор развития инженерного искусства в истории западной цивилизации от истоков до двадцатого века. Авторы делают акцент на достижения, которые, по их мнению, являются наиболее важными и оказали наибольшее влияние на развитие человеческой цивилизации, приводя великолепные примеры шедевров творческой инженерной мысли. Это висячие сады Вавилона; строительство египетских пирамид и храмов; хитроумные механизмы Архимеда; сложнейшие конструкции трубопроводов и мостов; тоннелей, проложенных в горах и прорытых под водой; каналов; пароходов; локомотивов – словом, все то, что требует обширных технических знаний, опыта и смелости.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.
Канадский ученый, эколог и политолог Вацлав Смил знаменит своими работами о связи энергетики с экологией, демографией и реальной политикой, а также виртуозным умением обращаться с большими массивами статистических данных. Эта книга, которая так восхитила Билла Гейтса, обобщает самые интересные материалы, которые Смил пишет для журнала IEEE Spectrum – одного из ведущих научно-инженерных изданий мира, и представляет собой актуальное руководство для понимания истинного положения дел на нашей планете.
Наша сегодняшняя жизнь перенасыщена информацией, однако большинство людей все же не знают, как на самом деле устроен наш мир. Эта книга освещает основные темы, связанные с обеспечением нашего выживания и благополучия: энергия, производство продуктов питания, важнейшие долговечные материалы, глобализация, оценка рисков, окружающая среда и будущее человека. Поиск эффективного решения проблем требует изучения фактов — мы узнаем, например, что глобализация не была неизбежной и что наше общество все сильнее зависит от ископаемого топлива, поэтому любые обещания декарбонизации к 2050 году — не более чем сказка.
Сочинение итальянского дипломата, писателя и поэта Бальдассаре Кастильоне (1478–1529) «Придворный», соединяющее воспоминания о придворной жизни герцогства Урбино в начале XVI века с размышлениями о морали, предназначении, стиле поведения дворянина, приближенного к государю, – одна из тех книг эпохи Возрождения, что не теряли популярности на протяжении последующих веков и восхищали блестящие умы своего и будущих столетий. Для истории культуры труд Кастильоне явился подлинной сокровищницей, и сложно представить, насколько более скудными оказались бы знания потомков об эпохе Возрождения, не будь он создан. Составленное в виде сборника занимательных и остроумных бесед, это ярко и непринужденно написанное произведение выходит за рамки источника сведений о придворных развлечениях своего времени и перечня достоинств совершенного придворного как всесторонне образованного и утонченно воспитанного человека, идеального с точки зрения гуманистических представлений.
«Эта книга посвящена захватывающей и важной для любого человека теме – осознанию себя как части общества и рассмотрению самого феномена общества под лупой эволюционных процессов в животном мире. Марк Моффетт сравнивает человеческое общество с социальными образованиями общественных насекомых, и эти сравнения вполне уместны. И его последующий интерес к устройству социальных систем у широкого круга позвоночных, от рыб до человекообразных обезьян, не случаен. Как эволюциониста, его интересы связаны с выявлением причин и факторов, влияющих на трансформации социального поведения у разных таксонов, роли экологии в усложнении общественных связей, с поиском связей между морфологическими и психологическими преобразованиями, в конечном итоге приведших к возникновению нашего вида.