Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - [83]
Действительно ли в том, что этот игрок никак не мог выкинуть семерку, было особое невезение? Стратегия, которую Ферма и Паскаль придумали для вычисления шансов получения на двух костях определенных чисел, сводилась к анализу разных вариантов выпадения костей и рассмотрению доли тех вариантов, которые дают семь очков. Первая кость может упасть шестью разными способами, что в сочетании с шестью же вариантами падения второй кости дает в общей сложности 36 разных комбинаций. Шесть из них приносят семь очков: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Поскольку вероятности выпадения каждой из комбинаций одинаковы, можно утверждать, что семь очков выпадают в 6 из 36 случаев. Собственно говоря, это самый вероятный из всех результатов броска двух костей. Но все же в 5 случаях из 6 семерка не выпадает. Насколько в действительности был невезуч тот джентльмен, который впал в отчаяние из-за того, что не мог выбросить семерку несколько раз подряд?
Какова же вероятность, что семерка так и не выпадет за четыре броска? Перебор всех разных сценариев кажется делом практически непосильным, потому что число возможных исходов равно 36>4 = 1 679 616. Но тут приходят на помощь Ферма и Паскаль, потому что есть один шорткат. Чтобы получить вероятность того, что семерка не выпадет за четыре броска, нужно просто перемножить вероятности для всех этих бросков: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 ≈ 0,48. Значит, вероятность того, что семерка не выпадет четыре раза подряд, составляет около половины – почти равные шансы.
Верно и обратное: при четырех бросках двух костей есть почти равные шансы увидеть семерку. Такой же анализ показывает, что при четырех бросках одной кости есть равные шансы получить шестерку. Значит, в том, что джентльмен, которого видел Пипс, не выкинул ни одной семерки за четыре броска, нет ничего особенно удивительного. Это все равно что не выкинуть орла, подкинув монету один раз.
Из того факта, что семерка – наиболее вероятная комбинация двух костей, можно извлечь выгоду для себя во многих играх, в которых используются кости, например в нардах или «Монополии». К примеру, самая посещаемая клетка на доске «Монополии» – это «Тюрьма». В сочетании с вероятным результатом броска двух костей это означает, что с клетки «Тюрьма» многие игроки попадают на клетки с недвижимостью оранжевой зоны чаще, чем куда бы то ни было еще. Поэтому тот, кому удастся захватить оранжевые клетки и застроить их гостиницами, получит решающее преимущество в игре.
Хитрый шорткат: рассмотрим обратный случай
В вычислениях Ферма и Паскаля скрыт еще один изобретательный шорткат, которым часто пользуются математики. Что будет, если попробовать решать эту задачу, вычислив вероятность выпадения семерки за четыре броска костей? Для этого явно нельзя перемножить вероятности выпадения семерки четыре раза. Это произведение даст вероятность редкого случая выпадения четырех семерок подряд. Вместо этого нужно перебрать все возможные комбинации, в которых может выпасть семерка. Придется вычислить вероятность выпадения семерки в первом броске и ее отсутствия во всех последующих или ее отсутствия в двух первых бросках и выпадения двух семерок в двух последних. Снова масса работы. Но здесь можно использовать очень полезный шорткат. Есть всего один случай, который нас не интересует: когда семерка не выпадает ни разу. Но вычислить его вероятность легко.
Поэтому можно не пытаться решить задачу в лоб, а взглянуть на нежелательный исход. Мне лично этот шорткат очень помогает, над какой бы задачей я ни работал. Если с чем-нибудь не получается справиться напрямую, нужно попробовать посмотреть на обратную сторону. Например, понимание сознания – трудная научная задача, но анализ того, что сознания не имеет, иногда может привести к новым идеям относительно этой проблемы. Поэтому изучение пациентов, находящихся в состоянии глубокого сна или комы, может помочь ученым понять, что именно делает бодрствующий мозг сознательным.
Шорткат через оборотную сторону дает ключ и к решению следующей задачи: каждые выходные в Великобритании проходят матчи футбольной Премьер-лиги. Какова доля таких матчей, в которых на поле оказываются два человека с совпадающими днями рождения?
На первый взгляд кажется, что такое должно случаться очень редко. Может быть, один раз из десяти? Я думаю, что это впечатление возникает под влиянием мысли, что этот вопрос равнозначен следующему: если в эти выходные я буду играть в футбол, какова вероятность, что на поле окажется человек с тем же днем рождения, что и у меня? Вероятность такого события составляет около 5 процентов.
Однако тут речь идет лишь о сопоставлении меня самого с каждым из прочих футболистов. А как насчет всех остальных возможных пар? День рождения не обязательно должен совпасть именно у меня. Тогда задача усложняется, и становится ясно, что разных вариантов образования пар существует очень много.
Но при помощи шортката с рассмотрением обратной задачи можно прийти к решению гораздо более рациональным путем. Какова вероятность того, что на поле нет людей с совпадающими днями рождения? Если вычислить эту величину и отнять ее от 1, получится вероятность того, что два человека с одинаковыми днями рождения на поле есть.
Знаменитый оксфордский профессор и популяризатор науки Маркус дю Сотой исследует природу творчества, освещая наиболее важные аспекты работы алгоритмов и математических правил, которые лежат в их основе. Он задается вопросом, насколько наш эмоциональный отклик на произведения искусства обусловлен реакцией мозга на закономерности и структуры и что именно означает заниматься творчеством в математике, изобразительном искусстве, литературе и музыке. На основе ярких примеров того, как «поверяется алгеброй гармония» мировых шедевров, среди которых «Евгений Онегин» Пушкина, «Песнь льда и пламени» Джорджа Р.
«Хотя эта книга посвящена тому, чего мы знать не можем, также очень важно понять, что мы знаем. В этом путешествии к пределам знаний мы пройдем через области, уже нанесенные учеными на карты, до самых пределов последних на сегодняшний день достижений науки. В пути мы будем задерживаться, чтобы рассмотреть те моменты, когда ученые считали, что зашли в тупик и дальнейшее продвижение вперед невозможно, но следующее поколение исследователей находило иные пути. Это позволит нам по-новому взглянуть на то, что мы сегодня можем считать непознаваемым.
«Умение математиков заглядывать в будущее наделило тех, кто понимает язык чисел, огромным могуществом. От астрономов древних времен, способных предсказать движения планет в ночном небе, до сегодняшних управляющих хедж-фондами, прогнозирующих изменения цен на фондовом рынке, – все они использовали математику, чтобы постичь будущее. Сила математики в том, что она может гарантировать стопроцентную уверенность в свойствах мира». Маркус дю Сотой Профессор математики Оксфордского университета, заведующий кафедрой Симони, сменивший на этой должности Ричарда Докинза, Маркус дю Сотой приглашает вас в незабываемое путешествие по необычным и удивительным областям науки, лежащей в основе каждого аспекта нашей жизни. В формате pdf A4 сохранен издательский дизайн.
Настоящая монография посвящена изучению системы исторического образования и исторической науки в рамках сибирского научно-образовательного комплекса второй половины 1920-х – первой половины 1950-х гг. Период сталинизма в истории нашей страны характеризуется определенной дихотомией. С одной стороны, это время диктатуры коммунистической партии во всех сферах жизни советского общества, политических репрессий и идеологических кампаний. С другой стороны, именно в эти годы были заложены базовые институциональные основы развития исторического образования, исторической науки, принципов взаимоотношения исторического сообщества с государством, которые определили это развитие на десятилетия вперед, в том числе сохранившись во многих чертах и до сегодняшнего времени.
Монография посвящена проблеме самоидентификации русской интеллигенции, рассмотренной в историко-философском и историко-культурном срезах. Логически текст состоит из двух частей. В первой рассмотрено становление интеллигенции, начиная с XVIII века и по сегодняшний день, дана проблематизация важнейших тем и идей; вторая раскрывает своеобразную интеллектуальную, духовную, жизненную оппозицию Ф. М. Достоевского и Л. Н. Толстого по отношению к истории, статусу и судьбе русской интеллигенции. Оба писателя, будучи людьми диаметрально противоположных мировоззренческих взглядов, оказались “versus” интеллигентских приемов мышления, идеологии, базовых ценностей и моделей поведения.
Монография протоиерея Георгия Митрофанова, известного историка, доктора богословия, кандидата философских наук, заведующего кафедрой церковной истории Санкт-Петербургской духовной академии, написана на основе кандидатской диссертации автора «Творчество Е. Н. Трубецкого как опыт философского обоснования религиозного мировоззрения» (2008) и посвящена творчеству в области религиозной философии выдающегося отечественного мыслителя князя Евгения Николаевича Трубецкого (1863-1920). В монографии показано, что Е.
Эксперты пророчат, что следующие 50 лет будут определяться взаимоотношениями людей и технологий. Грядущие изобретения, несомненно, изменят нашу жизнь, вопрос состоит в том, до какой степени? Чего мы ждем от новых технологий и что хотим получить с их помощью? Как они изменят сферу медиа, экономику, здравоохранение, образование и нашу повседневную жизнь в целом? Ричард Уотсон призывает задуматься о современном обществе и представить, какой мир мы хотим создать в будущем. Он доступно и интересно исследует возможное влияние технологий на все сферы нашей жизни.
Настоящая книга представляет собой интереснейший обзор развития инженерного искусства в истории западной цивилизации от истоков до двадцатого века. Авторы делают акцент на достижения, которые, по их мнению, являются наиболее важными и оказали наибольшее влияние на развитие человеческой цивилизации, приводя великолепные примеры шедевров творческой инженерной мысли. Это висячие сады Вавилона; строительство египетских пирамид и храмов; хитроумные механизмы Архимеда; сложнейшие конструкции трубопроводов и мостов; тоннелей, проложенных в горах и прорытых под водой; каналов; пароходов; локомотивов – словом, все то, что требует обширных технических знаний, опыта и смелости.
Что такое, в сущности, лес, откуда у людей с ним такая тесная связь? Для человека это не просто источник сырья или зеленый фитнес-центр – лес может стать местом духовных исканий, служить исцелению и просвещению. Биолог, эколог и журналист Адриане Лохнер рассматривает лес с культурно-исторической и с научной точек зрения. Вы узнаете, как устроена лесная экосистема, познакомитесь с различными типами леса, характеризующимися по составу видов деревьев и по условиям окружающей среды, а также с видами лесопользования и с некоторыми аспектами охраны лесов. «Когда видишь зеленые вершины холмов, которые волнами катятся до горизонта, вдруг охватывает оптимизм.
Канадский ученый, эколог и политолог Вацлав Смил знаменит своими работами о связи энергетики с экологией, демографией и реальной политикой, а также виртуозным умением обращаться с большими массивами статистических данных. Эта книга, которая так восхитила Билла Гейтса, обобщает самые интересные материалы, которые Смил пишет для журнала IEEE Spectrum – одного из ведущих научно-инженерных изданий мира, и представляет собой актуальное руководство для понимания истинного положения дел на нашей планете.
Наша сегодняшняя жизнь перенасыщена информацией, однако большинство людей все же не знают, как на самом деле устроен наш мир. Эта книга освещает основные темы, связанные с обеспечением нашего выживания и благополучия: энергия, производство продуктов питания, важнейшие долговечные материалы, глобализация, оценка рисков, окружающая среда и будущее человека. Поиск эффективного решения проблем требует изучения фактов — мы узнаем, например, что глобализация не была неизбежной и что наше общество все сильнее зависит от ископаемого топлива, поэтому любые обещания декарбонизации к 2050 году — не более чем сказка.
Сочинение итальянского дипломата, писателя и поэта Бальдассаре Кастильоне (1478–1529) «Придворный», соединяющее воспоминания о придворной жизни герцогства Урбино в начале XVI века с размышлениями о морали, предназначении, стиле поведения дворянина, приближенного к государю, – одна из тех книг эпохи Возрождения, что не теряли популярности на протяжении последующих веков и восхищали блестящие умы своего и будущих столетий. Для истории культуры труд Кастильоне явился подлинной сокровищницей, и сложно представить, насколько более скудными оказались бы знания потомков об эпохе Возрождения, не будь он создан. Составленное в виде сборника занимательных и остроумных бесед, это ярко и непринужденно написанное произведение выходит за рамки источника сведений о придворных развлечениях своего времени и перечня достоинств совершенного придворного как всесторонне образованного и утонченно воспитанного человека, идеального с точки зрения гуманистических представлений.
«Эта книга посвящена захватывающей и важной для любого человека теме – осознанию себя как части общества и рассмотрению самого феномена общества под лупой эволюционных процессов в животном мире. Марк Моффетт сравнивает человеческое общество с социальными образованиями общественных насекомых, и эти сравнения вполне уместны. И его последующий интерес к устройству социальных систем у широкого круга позвоночных, от рыб до человекообразных обезьян, не случаен. Как эволюциониста, его интересы связаны с выявлением причин и факторов, влияющих на трансформации социального поведения у разных таксонов, роли экологии в усложнении общественных связей, с поиском связей между морфологическими и психологическими преобразованиями, в конечном итоге приведших к возникновению нашего вида.